条件付き確率 \(P(A\!\mid\!B) \equiv \frac{P(A\cap B)}{P(B)}\) の公式
\[ P(A\!\mid\!B) = \dfrac{P(B\!\mid\!A)P(A)}{P(B)} \]美術や建築で頻繁に現れる比率
\[ \varphi = \dfrac{1+\sqrt{5}}2 \]大きな階乗、あるいは、その拡張であるガンマ関数の近似式
\[ \begin{split} n! &\sim \sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n \text{, where }n\to\infty\text{, }n\in\mathbb{N}\text{, }n! = \Gamma(n+1) = n\Gamma(n)\\ \Gamma(z) &\sim \sqrt{\frac{2\pi}{z}}\left(\frac{z}{e}\right)^z \text{, where }\lvert z\rvert\to\infty\text{, }z\in\mathbb{C}\text{, }\Gamma(z) = (z-1)! = \frac{z!}z \end{split} \]関数の変化率を示すベクトル演算子
\[ \begin{split} \nabla &= {\hat{\mathbf{x}}}{\frac\partial{\partial x}}+{\hat{\mathbf{y}}}{\frac\partial{\partial y}}+{\hat{\mathbf{z}}}{\frac\partial{\partial z}}\\ \nabla &= \sum_{i=1}^n\hat{e}_i{\partial\over\partial x_i}\text{, where }\hat{e}_i\text{ is called standard basis.} \end{split} \]正方行列の行列式 \(\det(A)\) に対するライプニッツの公式
\[ \det(A) = \sum_{\tau \in \mathfrak{S}_n}\operatorname{sgn}(\tau) \prod _{i=1}^{n}a_{i,\tau(i)} = \sum_{\sigma \in \mathfrak{S}_n}\operatorname{sgn}(\sigma) \prod _{i=1}^{n}a_{\sigma(i),i} \]初項から第 \(n\) 項までの自然数の和を計算する式
\[ \sum_{k=1}^n k = \frac{n(n+1)}2 \]\(f(x)\) の時間平均は定数 \(B\) よりも常に小さいことを示す不等式
\[ B \gt \dfrac1T \int_0^T f(x)\,\mathrm{d}x \]【修正】これは 2026/04/12 ChatGPT により、以下の修正の提案がなされています。
力学系において、十分長い時間平均が空間平均に一致することを述べる理論
\[ \lim_{T\to\infty}\frac1T\int_0^T f(\phi_t(x))\,\mathrm{d}t = \int_X f\,\mathrm{d}\mu \]指数関数 \(e^x\) の極限としての定義
\[ e^x = \lim_{n\to\infty}\left(1 + \frac{x}n\right)^n \]指数関数 \(e^x\) のテイラー級数展開としての定義
\[ e^x = \sum_{n=0}^\infty\dfrac{x^n}{n!} \]\(\operatorname{Card}(\cdot)\) は集合「\(\cdot\)」の濃度として、全標本空間 \(\Omega\) における事象 \(A\) が発生する確率 \(P(A)\)
【修正】これは 2026/04/12 ChatGPT により、以下の修正の提案がなされています。
有限個の結果が等確率で起こる標本空間 \(\Omega\) において、事象 \(A\) が起こる確率 \(P(A)\)
\[ P(A) = \dfrac{\operatorname{Card}(A)}{\operatorname{Card}(\Omega)} \]\(\sum\in\mathbb{C}\) において、解析接続による自然数のすべての総和
\[ \sum_{n=0}^\infty n = -\frac1{12} \]【修正】これは 2026/04/12 ChatGPT により、以下の修正の提案がなされています。
リーマンゼータ関数の解析接続により対応づけられる値
※ これは通常の意味での級数の和ではなく、ゼータ関数の正則化による値である。
\[ 1 + 2 + 3 + 4 + \cdots = -\frac1{12} \]cf. 拙著、自然数の総和
対角化可能な形式の正方行列 \(A\)
\[ A = PDP^{−1} \]ここで、\(P\) は \(A\) の固有ベクトルを列として持つ行列、\(D\) は \(A\) の固有値を対角成分として持つ対角行列。
半整数値の階乗、ガンマ関数とガウス積分の関係
\[ \begin{split} \left(\frac12\right)! &= \frac{\sqrt\pi}2\\ &= \Gamma\left(\frac12+1\right) = \frac12\Gamma\left(\frac12\right)\\ \Gamma\left(\frac12\right) &= \sqrt\pi \end{split} \]\(n\) 個から \(k\) 個を選ぶ選び方の総数
\[ \binom{n}k = \dfrac{n!}{k!(n - k)!} \]\(x, f(x)\in\mathbb{R}\) におけるリーマン和による定積分の定義
\[ \int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x = \lim_{n\to +\infty}\dfrac{b − a}n\sum_{k=1}^n f\left(a + k\dfrac{b - a}n\right) \]\(f(a)\) の導関数 \(f'(a)\) の定義
\[ f'(a) = \lim_{h\to 0}\dfrac{f(a + h) - f(a)}h \]ガウス関数 \(e^{−x^2}\) の実数全体での広義積分
\[ \int_{-\infty}^{+\infty}e^{-x^2}\mathrm{d}x = \sqrt\pi \]平均 \(\mu\)、分散 \(\sigma\) とする正規分布の確率分布関数
【修正】これは 2026/04/12 ChatGPT により、以下の修正がなされています。
平均 \(\mu\)、標準偏差 \(\sigma\) をもつ正規分布の確率密度関数
\[ f(x) = \dfrac1{\sigma\sqrt{2\pi}}e^{-\frac12\left(\frac{x-\mu}\sigma\right)^2} \]関数 \(f(t): \mathbb{R}\to\mathbb{R}, t\ge 0, s\in\mathbb{C}\) のラプラス変換の定義
\[ F(s) = \int_0^\infty f(t)e^{-st}\mathrm{d}t \]関数 \(f: \mathbb{R}\to\mathbb{C}\) のフーリエ変換の定義
\[ \hat{f}(\xi) = \int_{-\infty}^\infty f(x)e^{-2\pi ix\xi} \]ベクトル場の発散とその領域の表面積分の関係を表すガウスの定理
\[ \iiint_V (\nabla\cdot\mathbf{F})\,\mathrm{d}V = \oiint_S\mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,\mathrm{d}\mathbf{S} \]\(s\in\mathbb{C}\)、\(n\in\mathbb{N}\) におけるゼータ関数の定義
【修正】これは 2026/04/12 ChatGPT により、以下の修正の提案がなされています。
複素数 \(s\) に対して定義されるリーマンゼータ関数（この級数表示は \(\Re(s) \gt 1\) で収束する）
\[ \zeta(s) = \sum_{n=1}^\infty\dfrac1{n^s} \]【修正】これは 2026/04/12 ChatGPT により、以下の修正の提案がなされています。
リーマンゼータ関数 \(\zeta(s)\) の非自明零点は、すべて複素平面上の直線 \(\Re(s)=\frac12\) 上にある、という予想
\[ \zeta(s)=0 \text{ かつ } 0 \lt \Re(s) \lt 1 \;\Longrightarrow\; \Re(s)=\frac12 \]
| \ | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | \(\ce{{}_{\phantom{00}1}H}\) | \(\ce{{}_{\phantom{00}2}He}\) | ||||||||||||||||
| 2 | \(\ce{{}_{\phantom{00}3}Li}\) | \(\ce{{}_{\phantom{00}4}Be}\) | \(\ce{{}_{\phantom{00}5}B}\) | \(\ce{{}_{\phantom{00}6}C}\) | \(\ce{{}_{\phantom{00}7}N}\) | \(\ce{{}_{\phantom{00}8}O}\) | \(\ce{{}_{\phantom{00}9}F}\) | \(\ce{{}_{\phantom{0}10}Ne}\) | ||||||||||
| 3 | \(\ce{{}_{\phantom{0}11}Na}\) | \(\ce{{}_{\phantom{0}12}Mg}\) | \(\ce{{}_{\phantom{0}13}Al}\) | \(\ce{{}_{\phantom{0}14}Si}\) | \(\ce{{}_{\phantom{0}15}P}\) | \(\ce{{}_{\phantom{0}16}S}\) | \(\ce{{}_{\phantom{0}17}Cl}\) | \(\ce{{}_{\phantom{0}18}Ar}\) | ||||||||||
| 4 | \(\ce{{}_{\phantom{0}19}K}\) | \(\ce{{}_{\phantom{0}20}Ca}\) | \(\ce{{}_{\phantom{0}21}Sc}\) | \(\ce{{}_{\phantom{0}22}Ti}\) | \(\ce{{}_{\phantom{0}23}V}\) | \(\ce{{}_{\phantom{0}24}Cr}\) | \(\ce{{}_{\phantom{0}25}Mn}\) | \(\ce{{}_{\phantom{0}26}Fe}\) | \(\ce{{}_{\phantom{0}27}Co}\) | \(\ce{{}_{\phantom{0}28}Ni}\) | \(\ce{{}_{\phantom{0}29}Cu}\) | \(\ce{{}_{\phantom{0}30}Zn}\) | \(\ce{{}_{\phantom{0}31}Ga}\) | \(\ce{{}_{\phantom{0}32}Ge}\) | \(\ce{{}_{\phantom{0}33}As}\) | \(\ce{{}_{\phantom{0}34}Se}\) | \(\ce{{}_{\phantom{0}35}Br}\) | \(\ce{{}_{\phantom{0}36}Kr}\) |
| 5 | \(\ce{{}_{\phantom{0}37}Rb}\) | \(\ce{{}_{\phantom{0}38}Sr}\) | \(\ce{{}_{\phantom{0}39}Y}\) | \(\ce{{}_{\phantom{0}40}Zr}\) | \(\ce{{}_{\phantom{0}41}Nb}\) | \(\ce{{}_{\phantom{0}42}Mo}\) | \(\ce{{}_{\phantom{0}43}Tc}\) | \(\ce{{}_{\phantom{0}44}Ru}\) | \(\ce{{}_{\phantom{0}45}Rh}\) | \(\ce{{}_{\phantom{0}46}Pd}\) | \(\ce{{}_{\phantom{0}47}Ag}\) | \(\ce{{}_{\phantom{0}48}Cd}\) | \(\ce{{}_{\phantom{0}49}In}\) | \(\ce{{}_{\phantom{0}50}Sn}\) | \(\ce{{}_{\phantom{0}51}Sb}\) | \(\ce{{}_{\phantom{0}52}Te}\) | \(\ce{{}_{\phantom{0}53}I}\) | \(\ce{{}_{\phantom{0}54}Xe}\) |
| 6 | \(\ce{{}_{\phantom{0}55}Cs}\) | \(\ce{{}_{\phantom{0}56}Ba}\) | L | \(\ce{{}_{\phantom{0}72}Hf}\) | \(\ce{{}_{\phantom{0}73}Ta}\) | \(\ce{{}_{\phantom{0}74}W}\) | \(\ce{{}_{\phantom{0}75}Re}\) | \(\ce{{}_{\phantom{0}76}Os}\) | \(\ce{{}_{\phantom{0}77}Ir}\) | \(\ce{{}_{\phantom{0}78}Pt}\) | \(\ce{{}_{\phantom{0}79}Au}\) | \(\ce{{}_{\phantom{0}80}Hg}\) | \(\ce{{}_{\phantom{0}81}Tl}\) | \(\ce{{}_{\phantom{0}82}Pb}\) | \(\ce{{}_{\phantom{0}83}Bi}\) | \(\ce{{}_{\phantom{0}84}Po}\) | \(\ce{{}_{\phantom{0}85}At}\) | \(\ce{{}_{\phantom{0}86}Rn}\) |
| 7 | \(\ce{{}_{\phantom{0}87}Fr}\) | \(\ce{{}_{\phantom{0}88}Ra}\) | A | \(\ce{{}_{104}Rf}\) | \(\ce{{}_{105}Db}\) | \(\ce{{}_{106}Sg}\) | \(\ce{{}_{107}Bh}\) | \(\ce{{}_{108}Hs}\) | \(\ce{{}_{109}Mt}\) | \(\ce{{}_{110}Ds}\) | \(\ce{{}_{111}Rg}\) | \(\ce{{}_{112}Cn}\) | \(\ce{{}_{113}Nh}\) | \(\ce{{}_{114}Fl}\) | \(\ce{{}_{115}Mc}\) | \(\ce{{}_{116}Lv}\) | \(\ce{{}_{117}Ts}\) | \(\ce{{}_{118}Og}\) |
| L | \(\ce{{}_{57}La}\) | \(\ce{{}_{58}Ce}\) | \(\ce{{}_{59}Pr}\) | \(\ce{{}_{60}Nd}\) | \(\ce{{}_{61}Pm}\) | \(\ce{{}_{62}Sm}\) | \(\ce{{}_{63}Eu}\) | \(\ce{{}_{64}Gd}\) | \(\ce{{}_{65}Tb}\) | \(\ce{{}_{66}Dy}\) | \(\ce{{}_{67}Ho}\) | \(\ce{{}_{68}Er}\) | \(\ce{{}_{69}Tm}\) | \(\ce{{}_{70}Yb}\) | \(\ce{{}_{71}Lu}\) | |||
| A | \(\ce{{}_{89}Ac}\) | \(\ce{{}_{90}Th}\) | \(\ce{{}_{91}Pa}\) | \(\ce{{}_{92}U}\) | \(\ce{{}_{93}Np}\) | \(\ce{{}_{94}Pu}\) | \(\ce{{}_{95}Am}\) | \(\ce{{}_{96}Cm}\) | \(\ce{{}_{97}Bk}\) | \(\ce{{}_{98}Cf}\) | \(\ce{{}_{99}Es}\) | \(\ce{{}_{100}Fm}\) | \(\ce{{}_{101}Md}\) | \(\ce{{}_{102}No}\) | \(\ce{{}_{103}Lr}\) |
ラグランジアン \(L\) によって、その時間積分にて極値をとる経路が実際の運動を表す (作用の原理) 物理系の運動を記述する作用関数
\[ S[\mathbf{q}(t)] = \int_{t_1}^{t_2} L(\mathbf{q}(t), \dot{\mathbf{q}}(t), t)\, \mathrm{d}t \]ある温度 \(T\) における放射強度が周波数 \(\nu\) に依存する様子を示す、黒体放射におけるプランクの法則
\[ B_\nu(T) = \frac{2h\nu^3}{c^2} \frac{1}{e^{\frac{h\nu}{kT}} - 1} \]量子力学における角運動量の異なる成分間のコミュテータ、角運動量の交換関係
\[ \left[\mathrm{L}_x, \mathrm{L}_y\right] = i\hbar \mathbf{L}_z \]物体が放射する総エネルギーは温度の 4 乗に比例するというステファン＝ボルツマンの法則
\[ \varphi = \sigma T^4 \]重力が時空の曲がり (リッチテンソル) によって表現され、その曲がりが物質 (ストレスエネルギー・テンソル) によって引き起こされる様子を記述するアインシュタインの場の方程式
\[ R_{\mu\nu} - \frac{1}{2} Rg_{\mu\nu} = \frac{8\pi G}{c^4} T_{\mu\nu} \]磁束 \(\Phi_B\) の磁場の変化が電磁誘導によって起電力 \(\mathcal{E}\) を生み出すことを示すファラデーの法則
\[ \mathcal{E} = -\frac{\mathrm{d}\Phi_B}{\mathrm{d}t} \]波動が時間と空間に沿ってどのように伝わるかを記述する 1 次元の波動方程式
\[ \frac{\partial^2u}{\partial t^2} = c^2\frac{\partial^2u}{\partial x^2} \]波動が時間と空間に沿ってどのように伝わるかを記述する 3 次元の波動方程式
\[ \frac{\partial^2u}{\partial t^2} = c^2\left(\frac{\partial^2u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2u}{\partial y^2} + \frac{\partial^2u}{\partial z^2}\right) \]物質波の波長 \(\lambda\) が運動量 \(p\) に依存することを示すド・ブロイの波長を表す式
\[ \lambda = \frac{h}p \]導電体の電流密度 \(\vec\jmath\) と電場 \(\vec{E}\)、電気抵抗率 \(\rho\) の関係を示すオームの法則のベクトル形式
\[ \vec{E} = \rho\vec\jmath \]電場と磁場を統一的に記述するために使われる場のテンソルによる電磁場テンソルの定義
\[ F_{\mu\nu} = \partial_\mu A_\nu - \partial_\nu A_\mu \]中性子 \(\mathrm{n}\) が陽子 \(\mathrm{p}\)、電子 (ベータ粒子) \(\beta^-\) および反電子ニュートリノ \(\bar\nu_e\) に崩壊する \(\beta^-\) 崩壊
\[ \mathrm{n}^+ \to \mathrm{p} + \beta^- + \bar\nu_e \]陽子 \(\mathrm{p}\) が陽電子 (ベータ粒子) \(\beta^+\)、電子ニュートリノ \(\bar\nu_e\) および中性子 \(\mathrm{n}\) に崩壊する \(\beta^+\) 崩壊
\[ \mathrm{p}^{+} \to \mathrm{n} + \beta^+ + \nu_e \]陽子 \(\mathrm{p}\) が軌道上の電子 (ベータ粒子) \(\beta^-\) を捕獲して中性子 \(\mathrm{n}\) に換わり、電子ニュートリノ \(\nu_e\) と特性 X 線になる電子捕獲、\(\beta^+\) 崩壊
\[ \mathrm{p}^{+} + \beta^- \to \mathrm{n} + \nu_e \]流体力学の基本方程式であるナビエ–ストークス方程式
\[ \rho\left(\frac{\partial\mathbf{u}}{\partial t} + \mathbf{u}\left(\cdot\nabla\right)\mathbf{u}\right) = -\nabla\bar{p} + \mu\nabla^2\mathbf{u} + \frac13\mu\nabla(\nabla\cdot\mathbf{u}) + \rho\mathbf{a} \]ウラン 235 がトリウム 231 に \(\alpha\) 崩壊する放射性崩壊のプロセス
原子炉内:
\[ \ce{{}^{235}_{92}U + {}^1_0n -> {}^{141}_{56}Ba + {}^{92}_{36}Kr + 3{}^1_0n} \]自然界:
\[ \ce{{}^{235}_{92}U ->[\alpha][7.038\times10^8\ {\ce{y}}]{}^{231}_{90}Th} \]より詳しく:
\[ {\begin{array}{l} {\ce{{}^{235}_{92}U ->[\alpha][7.038\times10^8\ {\ce{y}}] {}^{231}_{90}Th ->[\beta^{-}][25.52\ {\ce{h}}] {}^{231}_{91}Pa ->[\alpha][3.276\times10^4\ {\ce{y}}]}}\\ {\ce{{}^{227}_{89}Ac }\begin{Bmatrix} {\ce{ ->[98.62\%\beta^{-}][21.773\ {\ce{y}}] {}^{227}_{90}Th ->[\alpha][18.718\ {\ce{d}}]}}\\ {\ce{ ->[1.38\%\alpha][21.773\ {\ce{y}}] {}^{223}_{87}Fr ->[\beta^{-}][21.8\ {\ce{min}}]}} \end{Bmatrix}} {\ce{{}^{223}_{88}Ra ->[\alpha][11.434\ {\ce{d}}]}}\\ {\ce{{}^{219}_{86}Rn ->[\alpha][3.96\ {\ce{s}}] {}^{215}_{84}Po}} {\begin{Bmatrix} {\ce{ ->[99.99\%\alpha][1.778\ {\ce{ms}}] {}^{211}_{82}Pb ->[\beta^{-}][36.1\ {\ce{min}}]}}\\{\ce{ ->[2.3\times10^{-4}\%\beta^{-}][1.778\ {\ce{ms}}] {}^{215}_{85}At ->[\alpha][0.10\ {\ce{ms}}]}} \end{Bmatrix}}\\ {\ce{{}^{211}_{83}Bi}} {\begin{Bmatrix}{\ce{ ->[99.73\%\alpha][2.13\ {\ce{min}}] {}^{207}_{81}Tl ->[\beta^{-}][4.77\ {\ce{min}}]}}\\ {\ce{ ->[0.27\%\beta^{-}][2.13\ {\ce{min}}] {}^{211}_{84}Po ->[\alpha][0.516\ {\ce{s}}]}} \end{Bmatrix}} {\ce{{}^{207}_{82}Pb_{(stable)}}} \end{array}} \]ウラン 238 がトリウム 234 に \(\alpha\) 崩壊する放射性崩壊のプロセス
\[ \ce{{}^{238}_{92}U ->[{}^4_2\alpha] {}^{234}_{90}Th ->[{}^0_{-1}\beta^-] {}^\mathrm{234m}_{91}Pa} \]より詳しく:
\[ \begin{array}{l} \ce{{}^{238}_{92}U->[{}^4_2\alpha][4.468\times10^9\mathrm{\,y}]} \ce{{}^{234}_{90}Th->[{}^0_{-1}\beta^-][24.1\mathrm{\,d}]{}^\mathrm{234m}_{91}Pa} \begin{Bmatrix} \ce{->[0.16\%][1.17\mathrm{\,min}]} \ce{{}^{234}_{91}Pa->[{}^0_{-1}\beta^-][6.7\mathrm{\,h}]}\\ \ce{->[99.84\%{}^0_{-1}\beta^-][1.17\mathrm{\,min}]} \end{Bmatrix}\\ \ce{{}^{234}_{92}U->[{}^4_2\alpha][2.445\times10^5\mathrm{\,y}]} \ce{{}^{230}_{90}Th->[{}^4_2\alpha][7.5\times10^4\mathrm{\,y}]} \ce{{}^{226}_{88}Ra->[{}^4_2\alpha][1600\mathrm{\,y}]} \ce{{}^{222}_{86}Rn->[{}^4_2\alpha][3.8235\mathrm{\,d}]}\\ \ce{{}^{218}_{84}Po->[{}^4_2\alpha][3.05\mathrm{\,min}]} \ce{{}^{214}_{82}Pb->[{}^0_{-1}\beta^-][26.8\mathrm{\,min}]} \ce{{}^{214}_{83}Bi->[{}^0_{-1}\beta^-][19.9\mathrm{\,min}]} \ce{{}^{214}_{84}Po->[{}^4_2\alpha][164.3\mathrm{\,\mu s}]}\\ \ce{{}^{210}_{82}Pb->[{}^0_{-1}\beta^-][22.26\mathrm{\,y}]} \ce{{}^{210}_{83}Bi->[{}^0_{-1}\beta^-][5.012\mathrm{\,d}]} \ce{{}^{210}_{84}Po->[{}^4_2\alpha][138.38\mathrm{\,d}]} \ce{{}^{206}_{82}Pb} \end{array} \]ストロンチウム 90 がジルコニウム 90 に \(\beta^-\) 崩壊する放射性崩壊のプロセス
\[ \ce{{}^{90}_{38}Sr ->[{}^0_{-1}\beta^-\ \bar{\nu_\mathit{e}}\ 0.5459\,MeV][28.79\,y]} \ce{{}^{90}_{39}Y ->[{}^0_{-1}\beta^-\ \bar{\nu_\mathit{e}}\ 2.280\,MeV][64.053\,h]} \ce{{}^{90}_{40}Zr} \]トリチウム (水素 3) がヘリウム 3 に \(\beta^-\) 崩壊する放射性崩壊のプロセス
\[ \ce{{}^3_1H ->[{}^0_{-1}\beta^-\ \bar{\nu_\mathit{e}}\ 18.6\,keV][12.32\,y]} \ce{{}^3_2He + \mathit{e}^- + \bar{\nu_\mathit{e}}} \]モリブデン 99 が準安定状態のテクネチウム 99m に \(\beta\) 崩壊し、基底状態のテクネチウム 99 へ \(\gamma\) 崩壊する放射性崩壊のプロセス
\[ \ce{{}^{99}_{42}Mo ->[{}^0_{-1}\beta^-\ \bar{\nu_\mathit{e}}]} \ce{{}^\mathrm{99m}_{43}Tc ->[\gamma]} \ce{{}^{99}_{43}Tc} \]ヨウ素 131 がキセノン 131 に \(\beta^-\) および \(\gamma\) 崩壊する放射性崩壊のプロセス
\[ \ce{{}^{131}_{53}I ->[{}^0_{-1}\beta^-\ \bar{\nu_\mathit{e}}\ 606 keV][8.04\,d]} \ce{{}^{131}_{54}Xe^* ->[\gamma\ 364 keV] {}^{131}_{54}Xe} \]セシウム 134 がバリウム 134 に \(\beta^-\) 崩壊する放射性崩壊のプロセス
\[ \ce{{}^{134}_{55}Cs ->[{}^0_{-1}\beta^-\ \bar{\nu_\mathit{e}}\ 2.059\,MeV][2.0652\,y]} \ce{{}^{134}_{56}Ba + \mathit{e}^-} \]セシウム 137 がバリウム 137 に \(\beta^-\) および \(\gamma\) 崩壊する放射性崩壊のプロセス
\[ \ce{{}^{137}_{55}Cs ->[{}^0_{-1}\beta^-\ \bar{\nu_\mathit{e}}\ 512.0\,keV][30.07\,y]} \ce{{}^\mathrm{137m}_{56}Ba ->[\gamma\ 661.7\,keV][2.552\,min]} \ce{{}^{137}_{56}Ba} \]オスミウム 192 準安定状態のイリジウム 192m に \(\beta^-\) 崩壊し、基底状態のイリジウム 192 に \(\gamma\) 崩壊する放射性崩壊のプロセス
\[ \ce{{}^{192}_{76}Os ->[{}^0_{-1}\beta^-\ \bar{\nu_\mathit{e}}]} \ce{{}^\mathrm{192m}_77Ir ->[\gamma]} \ce{{}^{192}_{77}Ir} \]ヨウ素 125 が電子捕獲を経て励起状態のテリウム 125 に変換され、励起状態のテリウム 125 に \(\beta^+\) 崩壊する放射性崩壊のプロセス
\[ \ce{{}^{125}_{53}I + \mathit{e}^- −>} \ce{{}^{125}_{52}Te^* −>} \ce{{}^{125}_{52}Te} + \nu_\mathit{e} \]コバルト 57 が電子捕獲を経て励起状態の鉄 57 に変換され、励起状態の鉄 57 に \(\beta^+\) 崩壊する放射性崩壊のプロセス
\[ \ce{{}^{57}_{27}Co + \mathit{e}^- −>} \ce{{}^{57}_{26}Fe^* −>} \ce{{}^{57}_{26}Fe} + \nu_\mathit{e} \]勾配、発散、回転などの微分演算のためのナブラ演算子
\[ \nabla = {\hat{\mathbf{x}}}{\frac\partial{\partial x}}+{\hat{\mathbf{y}}}{\frac\partial{\partial y}}+{\hat{\mathbf{z}}}{\frac\partial{\partial z}} \]放射性物質が時間と共に指数関数的に減少する様子を記述する放射性崩壊の法則
\[ N(t) = N_0e^{-\lambda t} \]量子力学における運動量演算子
\[ \hat{\mathbf{p}} = -i\hbar\nabla \]ハイゼンベルク描像における時間発展を記述した方程式
\[ {\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}}A_{\text{H}}(t) = {\frac{i}{\hbar}}[H_{\text{H}}(t),A_{\text{H}}(t)]+\left({\frac{\partial A_{\text{S}}}{\partial t}}\right)_{\text{H}} \]角運動量が保存される場合の物理量の振る舞いを示す、角運動量演算子間の交換関係
\[ \hat{\boldsymbol{L}} \times \hat{\boldsymbol{L}} = i\hbar\hat{\boldsymbol{L}} \] \[ \left[\hat{\boldsymbol{L}}_x, \hat{\boldsymbol{L}_y}\right] = i\hbar\hat{\boldsymbol{L}}_z \] \[ \left[\hat{\boldsymbol{L}}_i, \hat{\boldsymbol{L}_j}\right] = i\hbar\varepsilon_{ijk}\hat{\boldsymbol{L}}_k \]波動関数 \(\psi\) とエネルギー固有値 \(E\) の関係を示す、シュレディンガー方程式の固有値問題
\[ \widehat{H}\psi = E\psi \]ブラックホールの表面積に比例するブラックホールのエントロピーを示す、ベッケンシュタイン・ホーキングの式
\[ S = \frac{\pi Ak_Bc^3}{2hG} \] \[ S_{\text{BH}} = {\frac{kA}{4{\ell_{\mathrm{P}}}^2}}\text{, where }\ell_{\mathrm{P}} = \sqrt{\frac{G\hbar}{c^3}}\implies \] \[ S_{\text{BH}} = {\frac{4\pi R^2 k c^3}{4G\hbar}}\implies S_{\text{BH}} = {\frac{(2\pi R)^2 k c^3}{hG}}\text{, where }A = 4\pi R^2 \] \[ S = \frac{\pi Ak_Bc^3}{2hG}\implies S = \frac{(2\pi R)^2 kc^3}{hG}\text{, where }k = k_B \]位置と運動量の測定の精度には限界があることを示す、ハイゼンベルクの不確定性原理
\[ \Delta x \Delta p \geq \frac{\hbar}{2} \]流体力学のベルヌーイの定理
\[ \frac12\rho v^2 + \rho gz + p = \text{constant} \]量子電磁力学における、電磁気力の強さを表す無次元定数 \(\approx 1/137\) を持つ微細構造定数
\[ \approx \frac1{137} \]リッチスカラー \(R\)、メトリック行列の行列式 \(\sqrt{−g}\) に依存する、重力場のダイナミクスを決定する一般相対性理論における重力場の作用
\[ S = \frac1{2\kappa}\int R\sqrt{-g}\mathrm{d}^4\text{ where }\kappa = \frac{8\pi G}{c^4} \]量子力学の基本定数の一つである、通常のプランク定数 \(h\)を \(2\pi\) で割った値で、角運動量やエネルギーの量子化を記述
\[ \hbar := \frac{h}{2\pi} \]量子力学の基本方程式である波動関数 \(\lvert\psi(t)\rangle\) の時間変化のハミルトニアン \(\hat{H}\) の時間依存シュレーディンガー方程式
\[ i\hbar\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\lvert\psi(t)\rangle = \hat{H}\lvert\psi(t)\rangle \]
それぞれの画像にある 22 個の数式について順に解説
直角三角形の斜辺の長さ \(c\), 他の辺の長さ \(a, b\) の関係式
\[ a^2 + b^2 = c^2 \]アルキメデスらによる円周率の近似、内接および外接の正多角形による
\[ \begin{gather*} \frac{223}{71} < \pi < \frac{22}7 &\approx 3.1408 < \pi < 3.1429 \\ \frac{355}{113} < \pi < \frac{22}7 &\approx 3.14159292035 < \pi < 3.142857142857 \\ \pi &\approx 3.1415926 < \pi < 3.1415927 % \end{gather*} \]また、\(\pi\) の連分数の漸化式から近似の有理数を求めることができる。一般化された連分数において、
\[ a_0+{\cfrac{b_1}{a_1+{\cfrac{b_2}{a_2+{\cfrac{b_3}{a_3+{_{\ddots}}}}}}}} \] \[ \begin{cases} p_{i+1} &= a_ip_i + b_iq_i\\ q_{i+1} &= p_i \end{cases}\text{, where }p_0 = 1, q_0 = 0, 1\le i+1 \le n \]または、
\[ \begin{cases} p_i &= a_ip_{i-2} + b_ip_{i-1}\\ q_i &= a_iq_{i-2} + b_iq_{i-1} \end{cases}\text{, where }p_{-1} = 1, q_{-1} = 0, p_0 = a_0, q_0 = b_0, 1\le i \le n \]前者の方が単純で効率がよく優れている。以下にいくつかの連分数の計算例を示す。
\[ \begin{split} \pi &= 3+{\cfrac{1^2}{6+{\cfrac{3^2}{6+{\cfrac{5^2}{6+{\cfrac{7^2}{6+\cdots}}}}}}}}\\ &\approx \frac{141}{45} = \frac{47}{15} = 3.1\dot3\text{, where }n=3\\ &\approx \frac{1321}{420} = 3.14\dot52380\dot9\text{, where }n=4 \end{split} \] \[ \begin{split} \pi &= {\cfrac{4}{1+{\cfrac{1^2}{3+{\cfrac{2^2}{5+{\cfrac{3^2}{7+\cdots}}}}}}}}\\ &\approx \frac{6976}{2220} = \frac{1744}{555} = 3.1\dot42\dot3\text{, where }n=6\\ &\approx \frac{92736}{29520} = \frac{644}{205} = 3.1\dot4146\dot3\text{, where }n=7\\ &\approx \frac{315324149760}{100370793600} = \frac{54743776}{17425485} \approx 3.14159267\cdots\text{, where }n=12 \end{split} \] \[ \begin{split} \cfrac4\pi &= 1+{\cfrac{1^2}{3+{\cfrac{2^2}{5+{\cfrac{3^2}{7+{\cfrac{4^2}{9+{\cfrac{5^2}{11+{\cfrac{6^2}{\cdots}}}}}}}}}}}}\\ \pi &\approx \frac{6976}{2220} = \frac{1744}{555} = 3.1\dot42\dot3\text{, where }n=5\\ \pi &\approx \frac{92736}{29520} = \frac{644}{205} = 3.1\dot4146\dot3\text{, where }n=6\\ \pi &\approx \frac{315324149760}{100370793600} = \frac{54743776}{17425485} \approx 3.14159267\dots\text{, where }n=11\\ \end{split} \] \[ \begin{split} \pi &= 3+\textstyle{\cfrac{1}{7+\textstyle{\cfrac{1}{15+\textstyle{\cfrac{1}{1+\textstyle{\cfrac{1}{292+\textstyle{\cfrac{1}{1+\textstyle{\cfrac{1}{1+\textstyle{\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{2+\cdots}}}}}}}}}}}}}}}\\ &\approx \frac{355}{113} = 3.1415929\cdots\text{, where }n=4\\ &\approx \frac{104348}{33215} = 3.1\dot41592653921421044708715\dot9\text{, where }n=6 \end{split} \]パスカルの三角形は二項係数
\[ {n-1\choose k-1} = {}_{n-1}\mathrm{C}_{k-1} \]ネイピア数 \(e\)、虚数単位 \(i\)、円周率 \(\pi\)、乗法の単位元 \(1\)、加法の単位元 \(0\) の関係式
\[ \begin{split} e^{i\pi} &+ 1 = 0\\ e^{i\varphi} &= \cos\varphi + i\sin\varphi\text{, where }\varphi=\pi \end{split} \] \[ \sum_{k=0}^{n-1}e^{i\cdot\frac {2\pi }{n}k} = 0\text{, where }n=2 \]\(z_1, z_2\in\mathbb{C}\) かつ \(\Re(z_1), \Re(z_2)>0\) におけるベータ関数の定義とガンマ関数との関係式
\[ \begin{split} \operatorname{B}(z_1,z_2) &=\int_0^1t^{z_1-1}(1-t)^{z_2-1}\mathrm{d}t\\ &= \frac{\Gamma(z_1)\Gamma(z_2)}{\Gamma(z_1+z_2)} \end{split} \]ガウス積分は \(\mathbb{R}^2\) 直交座標系の二重積分、及び、極座標系の二重積分の平方根となることで計算可能
\[ \begin{split} \int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2}\mathrm{d}x &= \sqrt{\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2}\mathrm{d}x\int_{-\infty}^{\infty}e^{-y^2}\mathrm{d}y} = \sqrt{\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-\left(x^2+y^2\right)}\mathrm{d}x\mathrm{d}y} =\\ \sqrt{\iint_{\mathbb{R} ^2}e^{-\left(x^2+y^2\right)}dx\mathrm{d}y} &= \sqrt{\int_0^{2\pi}\int_0^{\infty}e^{-r^2}r\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta} = \sqrt{2\pi\int_0^{\infty}re^{-r^2}\mathrm{d}r}\text{, where }s = -r^2\\ &= \sqrt{2\pi\int_{-\infty}^0{\tfrac12}e^{s}\mathrm{d}s} = \sqrt{\pi\int_{-\infty}^0e^{s}\mathrm{d}s} = \sqrt{\lim_{x\to-\infty}\pi\left(e^0-e^{x}\right)}\\ &= \sqrt{\pi} \end{split} \]\(Z_n, c\in\mathbb{C}\) について以下のような漸化式の \(n\to\infty\) において発散しない \(c\) の集合
\[ z_{n+1} = z_n^2 + c\text{, where }z_0 = 0 \]\(x, y, z \ge 3\in\mathbb{Z}\) において以下の等式は成立しないという定理
\[ x^n + y^n = z^n \]デカルト座標系 (Cartesian coordinate system) \(\mathbb{R}^d\) 上の 2-norm \(d\)-開球体と \(p\)-norm \(d\)-開球体の定義式
\[ \begin{split} B_r(x) &:= \left\{x,y\in\mathbb{R}^d\middle\vert\sqrt{\sum_{i=1}^d(y_i-x_i)^2} < r\right\}\\ B_r(x) &:= \left\{x,y\in\mathbb{R}^d\middle\vert\sqrt[p]{\sum_{i=1}^d\left\lvert y_i-x_i\right\rvert^p} < r\right\} \end{split} \]質量-バネ-ダンパーモデル (mass-spring-damper model) の運動方程式
\[ \ddot{x}t + \frac{c}m \dot{x}t + \frac{k}m x(t) = f(t) \]外力が \(F = 0\) のとき
\[ \ddot{x}t + \frac{c}m \dot{x}t + \frac{k}m x(t) = 0\text{, where }F = 0 \] \[ x(t) = e^{\lambda t}\quad\implies \] \[ \lambda^2 e^{\lambda t} + \frac{c}m \lambda e^{\lambda t} + \frac{k}m e^{\lambda t} = 0\quad\implies \] \[ \lambda^2 + \frac{c}m \lambda + \frac{k}m = 0\quad\implies \] \[ \lambda = – \frac{c}{2m} \pm \frac12 \sqrt{\left(\frac{c}m \right)^2 – \frac{4k}m} \]過減衰、臨海減衰、不足減衰の３つの解
\[ x(t) = \begin{cases} C_1 e^{-\lambda_1 t} + C_2 e^{-\lambda_2 t}\text{, where }\left(\frac{c}m \right)^2 > \frac{4k}m\\ C_1 e^{-\lambda t} + C_2 t e^{-\lambda t}\text{, where }\left(\frac{c}m \right)^2 = \frac{4k}m \implies c = 2\sqrt{k m}\\ e^{-\frac{c}{2m} t}\left(A\cos(\omega_d t) + B\sin(\omega_d t)\right)\text{, where }\left(\frac{c}m \right)^2 < \frac{4k}m\text{, }\lambda = \alpha \pm \beta i \end{cases} \]熱力学温度 \(T\)、圧力 \(p\)、モル気体定数 \(R\) における物質量 \(n\) の体積 \(V\) の理想気体の状態方程式
\[ pV = nRT \]パイプやチューブ内の流れのレイノルズ数は、 パイプの水力直径、もしくは、内径 \(D_\mathrm{H}\) (\(\mathrm{m}\))、 体積流量 \(Q\) (\(\mathrm{\,m^3s^{-1}}\))、 パイプの断面積 \(A = \frac{\pi D^2}4\mathrm{\,m^2}\)、 流体の平均速度 \(u\mathrm{\,ms^{-1}}\)、 流体の動粘度 \(\mu\mathrm{\,Pa\cdot s, N\cdot sm^{-2}, kg\cdot m^{-1}s^{-1}}\)、 動粘性係数 \(\mu = \frac\mu{ν} \mathrm{\,m^2s^{-1}}\)、 流体の密度 \(\rho\mathrm{\,kg\cdot m^3}\)、 流体の質量流量 \(W\mathrm{\,kg\cdot s^{-1}}\) のとき、 次のように定義
\[ \mathrm{Re} = {\frac{uD_\mathrm{H}}{\nu}} = {\frac{\rho uD_\mathrm{H}}{\mu}} = {\frac{\rho QD_\mathrm{H}}{\mu A}} = {\frac{WD_\mathrm{H}}{\mu A}} \]媒体中の波の伝播速度 \(c\)、媒体に対する受信機の速度 \(v_{\mathrm{r}}\)、媒体に対する音源の速度 \(v_{\mathrm{s}}\) において、観測される周波数 \(f\) と放射周波数 \(f_0\) のドップラー効果
\[ \begin{split} f &= \left(1+{\frac{\Delta v}{c}}\right)f_0\text{ where }\Delta v = -(v_{\mathrm{r}}-v_{\mathrm{s}})\\ &= \left({\frac{c\pm v_{\mathrm{r}}}{c\mp v_{\mathrm{s}}}}\right)f_0 \end{split} \]万有引力定数 \(G\)、物体の質量 \(m_1\), \(m_2\)、物体間の距離 \(r\) のときの万有引力 \(F\)
\[ F = G\frac{m_1m_2}{r^2} \]質点の加速度 \(\boldsymbol{a}\) は、その質点に作用する力 \(\boldsymbol{F}\) に比例し、その質点の質量 \(m\) に反比例するというデカルト座標系上の運動方程式、ニュートン力学の第二法則
\[ \begin{split} \boldsymbol{F} &= \frac{\mathrm{d}\boldsymbol{p}}{\mathrm{d}t}\text{, where }\boldsymbol{p} = m\boldsymbol{v}\\ \boldsymbol{F} &= m{\frac{\mathrm{d}\boldsymbol{v}}{\mathrm{d}t}} = m{\frac{\mathrm{d}^{2}{\boldsymbol{r}}}{\mathrm{d}t^{2}}} = m\boldsymbol{a} \end{split} \]一般化座標系上の運動エネルギー \(T\) とポテンシャル \(V\) の差であるラグランジアン \(\mathcal{L}(q(t),\dot{q}(t),t) = T - V\) に関する運動方程式
\[ \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial q_i}-{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}}\left({\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\dot{q}_i}}\right) = 0 \]より正確には:
\[ \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial q_i}(q(t),\dot{q}(t),t)-{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}}\left({\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\dot{q}_i}}(q(t),\dot{q}(t),t)\right) = 0 \]交換相互作用定数 \(J\)、外部磁場 \(h\)、格子点 \(i\) 上のスピン \(\sigma_i\) (\(\pm1\)) におけるイジング模型のハミルトニアン
\[ H(\sigma) = -\sum_{\langle i j\rangle}J_{ij}\sigma_i\sigma_j - \mu\sum_j h_j\sigma_j \]時刻 \(t\), 位置ベクトル \(\mathbf{r}\), 電場の強度 \(\mathbf{E}\), 電束密度 \(\mathbf{D}\), 磁束密度 \(\mathbf{B}\), 磁場の強度 \(\mathbf{H}\), 真空の誘電率 \(\varepsilon_0\), 真空の透磁率 \(\mu_0\), 電荷密度 \(\rho\), 電流密度 \(\mathbf{J}\) からなる連立偏微分方程式による古典電磁気学の基礎方程式
\[ \begin{cases} \begin{aligned} \nabla\cdot\mathbf{D} &= {\rho} \iff \nabla\cdot\mathbf{E} = {\frac{\rho}{\varepsilon_0}} &\text{ — Maxwell–Gauss's law}\\ \nabla\cdot\mathbf{B} &= 0 &\text{ — Gauss's law for magnetism}\\ \nabla\times\mathbf{E} &= -{\frac{\partial\mathbf{B} }{\partial t}} &\text{ — Maxwell–Faraday equation of induction}\\ \nabla\times\mathbf{H} &= \mathbf{J} + {\frac{\partial\mathbf{D}}{\partial t}} \iff \nabla\times\mathbf{B} = \mu_0\left(\mathbf{J} +\varepsilon_0{\frac{\partial\mathbf{E} }{\partial t}}\right) &\text{ — Ampère–Maxwell law} \end{aligned} \end{cases} \]及び、その積分形式
\[ \begin{cases} \begin{aligned} \oiint_{\scriptstyle\partial\Omega}\mathbf{E}\cdot\mathrm{d}\mathbf{S} &= {\frac1{\varepsilon_0}}\iiint_{\Omega}\rho\,\mathrm{d} V &\text{ — Maxwell–Gauss's law}\\ \oiint_{\scriptstyle\partial\Omega}\mathbf{B}\cdot\mathrm{d}\mathbf{S} &= 0 &\text{ — Gauss's law for magnetism}\\ \oint_{\partial\Sigma}\mathbf{E}\cdot\mathrm{d}{\boldsymbol{\ell}} &= -{\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}}\iint_{\Sigma}\mathbf{B}\cdot\mathrm{d}\mathbf{S} &\text{ — Maxwell–Faraday equation of induction}\\ \oint_{\partial\Sigma}\mathbf{B}\cdot\mathrm{d}{\boldsymbol{\ell}} &= \mu_0\left(\iint_{\Sigma}\mathbf{J}\cdot\mathrm{d}\mathbf{S} + \varepsilon_0{\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}}\iint_{\Sigma}\mathbf{E}\cdot\mathrm{d}\mathbf{S}\right) &\text{ — Ampère–Maxwell law} \end{aligned} \end{cases} \]但し、真空中につき、分極 \(\mathbf{P}\)、磁化 \(\boldsymbol{M}\) は \(\boldsymbol{P} = \boldsymbol{M} = 0\) なので、
\[ \boldsymbol{D} = \varepsilon_0\boldsymbol{E} + \boldsymbol{P},\quad\boldsymbol{H} = \frac1{\mu_0}\boldsymbol{B} - \boldsymbol{M} \] \[ \mathbf{D} = \varepsilon_0\mathbf{E},\quad\mathbf{H} = {\frac1{\mu_0}}\mathbf{B} \]\(c\) を光速度として静止座標系における質量 \(m\) とエネルギー \(E\) の関係式
\[ E = mc^2 \]4 次元時空における 2 点間の無限小距離 \(\mathrm{d}s\)、計量テンソル \(g_{\mu\nu}\)、時空の各座標軸に沿った無限小変位 \(\mathrm{d}x^\mu\), \(\mathrm{d}x^\nu\) において、以下が成り立つ。
\[ \mathrm{d}s^2 = g_{\mu\nu}\mathrm{d}x^\mu \mathrm{d}x^\nu \]量子力学における量子の状態ベクトル \(\lvert\psi(t)\rangle\) に関する基礎方程式
\[ i\hbar\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\lvert\psi(t)\rangle = \hat{H}\lvert\psi(t)\rangle \]「H」と「S」は順にハイゼンベルク描像とシュレーディンガー描像の観測量、観測量 \(A\)、ハミルトニアン \(H\)、\(H\) と \(A\) の交換演算子 \([\cdot,\cdot]\) におけるハイゼンベルクの運動方程式
\[ {\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}}A_{\text{H}}(t) = {\frac{i}{\hbar}}[H_{\text{H}}(t),A_{\text{H}}(t)]+\left({\frac{\partial A_{\text{S}}}{\partial t}}\right)_{\text{H}} \]フェルミ粒子のためのディラック場 \(\psi(x)\) における基礎方程式
\[ i\gamma^\mu\partial_\mu\psi(x)-m\psi(x) = 0 \]ニュートリノを表すスピノル \(\nu\)、ニュートリノのチャージ共役 \(\nu^C\)、ニュートリノとそのチャージ共役のディラック共役 \(\bar\nu\), \(\bar\nu^C\)、ニュートリノの質量項 \(m\) におけるマヨラナ質量項
\[ -\frac{m}2\left(\bar\nu^C\nu + \bar\nu\nu^C\right) \]2024 年現在、これは未だ解決していない。
U235 の核分裂反応において、Ba139 と Kr95 が生成される化学式
\[ \ce{{}^{235}_{92}U + {}^1_0n -> {}^{139}_{56}Ba + {}^{95}_{36}Kr + 2^1_0n} \]原子炉内での制御された核分裂反応や核分裂兵器 (原子爆弾)、核燃料の再処理でみられる。
\[ \ce{{}^{235}_{92}U + {}^1_0n -> {}^{236}_{92}U^* -> {}^{139}_{56}Ba + {}^{95}_{36}Kr + 2^1_0n} \]素粒子物理学における、一般相対性理論 (時空と重力)、ゲージ理論 (電磁力、弱い相互作用、強い相互作用)、ヒッグス機構、フェルミオン (物質粒子) などの相互作用を包括的に含む標準模型 (Standard Model) のラグランジアンを統合した式
\[ W = \int_{k < \Lambda} \left[ \mathcal{D}g \right] \left[ \mathcal{D}A \right] \left[ \mathcal{D}\psi \right] \left[ \mathcal{D}\Phi \right] \exp \left\{ i \int d^4x \sqrt{-g} \left[ \frac{m_p^2}{2} R - \frac{1}{4} F^\alpha_{\mu\nu} F^{\alpha\mu\nu} + i \bar{\psi}^i \gamma^\mu D_\mu \psi^i + \left( \bar{\psi}^i_L V_{ij} \Phi \psi^j_R + h.c. \right) - |D_\mu \Phi|^2 - V(\Phi) \right] \right\} \]
量子力学と経路積分 — 以下の項は、量子力学的な経路積分 (ファインマン積分) により重力場 \(g\)、ゲージ場 \(A\)、フェルミオン場 \(\psi\)、ヒッグス場 \(\Phi\) の理論を記述している。
\[ W = \int_{k < \Lambda} \left[ \mathcal{D}g \right] \left[ \mathcal{D}A \right] \left[ \mathcal{D}\psi \right] \left\{ \mathcal{D}\Phi \right] \exp \left\{i\cdots\right\} \]重力、ゲージ場 — 以下の項は、一般相対性理論の重力場のラグランジアン \(\frac{m_p^2}{2} R\) とゲージ場 (電磁場や強い相互作用、弱い相互作用) を記述している。
\[ \int d^4x \sqrt{-g}, \] \[ \frac{m_p^2}{2} R, \] \[ - \frac{1}{4} F^\alpha_{\mu\nu} F^{\alpha\mu\nu} \]フェルミオン場 — 以下の項は、電子、クォークなどの物質粒子であるフェルミオンとそれに伴うディラック方程式を記述しており、ディラック行列 \(\gamma^\mu\)、共変微分 \(D_\mu\) を表す。
\[ i \bar{\psi}^i \gamma^\mu D_\mu \psi^i \]フェルミオンとヒッグス場の相互作用 — 以下の項は、ヒッグス場 \(\Phi\) と左巻きと右巻きのフェルミオンの相互作用を表し、ヒッグス機構により、フェルミオンが質量を得るための重要な要素。
\[ \bar{\psi}^i_L V_{ij} \Phi \psi^j_R + h.c. \]ヒッグス場 — 以下の項は、ヒッグス場の運動項とポテンシャル項 \(- V(\Phi)\) が含まれ、ヒッグス場の自発的対称性の破れにより、ゲージボソンとフェルミオンが質量を獲得する。 \[ - |D_\mu \Phi|^2 - V(\Phi) \] \[ \begin{gather*} \maltese\\ \maltese\\ \maltese\\ %\maltese\\ %\maltese\\ %\maltese\\ \maltese \end{gather*} \]
それぞれの画像にある 3 個の定数、及び、他の定数について解説
以下、主な数学定数を示す。但し、整数 \(\mathbb{Z}\), 有理数 \(\mathbb{Q}\), 代数的数 \(\mathbb{A} := \overline{\mathbb{Q}}\), 超越数 \(\mathbb{T} := \mathbb{R\cup C\cup H}\setminus\mathbb{A}\), 無理数 \(\mathbb{I} := \mathbb{R\cup C\cup H}\setminus\mathbb{Q}\), 実数 \(\mathbb{R}\), 複素数 \(\mathbb{C}\), 四元数 \(\mathbb{H}\) とする。
それぞれの画像にある 4 個の定数、及び、他の定数について解説
以下、主な物理定数を示す。
以下、HP 35S 関数電卓に搭載の物理定数をそのまま示す。
cf. Peter J. Mohr and Barry N. Taylor, ``CODATA Recommended Values of the Fundamental Physical Constants: 1998," Journal of Physical and Chemical Reference Data, Vol. 28, No.6, 1999 and Reviews of Modern Physics, Vol. 72, No. 2, 2000.
体 \(\mathbb{Q}\) からスタートして、次の形の体拡大: \(\mathbb{Q}(\sqrt{2})\) — 有理数体に \(\sqrt{2})\) を付け加えたもの \(\mathbb{Q}(\sqrt{3})\) — 有理数体に \(\sqrt{3})\) を付け加えたもの \(\mathbb{Q}(\sqrt{6})\) — 有理数体に \(\sqrt{6})\) を付け加えたもの、\(\sqrt{2}\sqrt{3})\) より \(\mathbb{Q}(\sqrt{2}, \sqrt{3})\) — \(\mathbb{Q}(\sqrt{2})\) と \(\mathbb{Q}(\sqrt{3})\) の両方を含む拡大体 これらは段階的に拡大されていく体で、最も大きな体 \(\mathbb{Q}(\sqrt{3})\) がガロア拡大
ガロア拡大のガロア群は、その拡大体上の自動同型群であり、体の構造を保つ変換。この例におけるガロア群は次の通り:
\(\{1, f, g, fg\}\) — \(f\) は \(\sqrt{2})\) を \(-\sqrt{2})\)、\(g\) は \(\sqrt{3})\) を \(-\sqrt{3})\) に写す変換。
それぞれの組み合わせでできる変換がガロア群の元
\(\{1, f\}\) — \(f\) による変換のみが可能な部分群 \(\sqrt{2}\) のみが関わる拡大に対応
\(\{1, g\}\) — \(g\) による変換のみが可能な部分群 \(\sqrt{3}\) のみが関わる拡大に対応
\(\{1, fg\}\) — 両方の変換が組み合わさる場合の部分群
Unfortunately, what is little recoglized is that the most worthwhile scientific books are those in which the author dearly indicates what he does not know; for an author most hurts his readers by concealing difficulties.
残念ながら、ほとんど認識されていないのは、 最も価値のある科学書とは、 著者が自分の知らないことを 素直に示している書物であるということです。 なぜなら、著者が読者に最も害を及ぼすのは、困難さを隠すときであるからです。
和名 英名 符号 3文字記号 解説 コドン アラニン Alanine A Ala 非極性・疎水性。エネルギー供給や筋肉代謝に重要。 GCU, GCC, GCA, GCG アルギニン Arginine R Arg 塩基性。尿素回路や一酸化窒素 (NO) 生成に関与。 CGU, CGC, CGA, CGG, AGA, AGG アスパラギン Asparagine N Asn 極性。タンパク質の糖鎖付加に関与。 AAU, AAC アスパラギン酸 Aspartic acid D Asp 酸性。興奮性神経伝達物質としても働く。 GAU, GAC システイン Cysteine C Cys 極性。ジスルフィド結合でタンパク質を安定化。 UGU, UGC グルタミン Glutamine Q Gln 極性。アンモニア代謝と免疫に関与。 CAA, CAG グルタミン酸 Glutamic acid E Glu 酸性。神経伝達物質や代謝に関与。 GAA, GAG グリシン Glycine G Gly 非極性。コラーゲンに多く含まれ、柔軟性を提供。 GGU, GGC, GGA, GGG ヒスチジン Histidine H His 塩基性。pH依存のプロトン移動を行い、酵素活性に関与。 CAU, CAC イソロイシン Isoleucine I Ile 非極性・分岐鎖アミノ酸。筋肉のエネルギー源。 AUU, AUC, AUA ロイシン Leucine L Leu 非極性・分岐鎖アミノ酸。タンパク質合成促進に重要。 UUA, UUG, CUU, CUC, CUA, CUG リシン Lysine K Lys 塩基性。タンパク質修飾やカルニチン合成に関与。 AAA, AAG メチオニン Methionine M Met 非極性。開始コドンで、メチル供与体としても重要。 AUG フェニルアラニン Phenylalanine F Phe 非極性・芳香族アミノ酸。神経伝達物質の前駆体。 UUU, UUC プロリン Proline P Pro 非極性。タンパク質の二次構造に独特の影響を与える。 CCU, CCC, CCA, CCG セリン Serine S Ser 極性。糖鎖付加や代謝の中間体として重要。 UCU, UCC, UCA, UCG, AGU, AGC スレオニン Threonine T Thr 極性。リン酸化される部位として重要。 ACU, ACC, ACA, ACG トリプトファン Tryptophan W Trp 非極性。セロトニンやメラトニンの前駆体。 UGG チロシン Tyrosine Y Tyr 極性。ホルモンや神経伝達物質の前駆体。 UAU, UAC バリン Valine V Val 非極性・分岐鎖アミノ酸。筋肉代謝に関与。 GUU, GUC, GUA, GUG 終止コドン Stop * Stop 翻訳終了を示すシグナル。 UAA, UAG, UGA
画像にある 30 個の鉱物について順に解説 — 以下はそれぞれの英名とカタカナ表記
画像にある 42 個の水生動物について順に解説 — 以下はそれぞれの英名とカタカナ表記
画像にある 72 種の絶滅危惧動物について順に解説 — 以下はそれぞれの英名とカタカナ表記
さまざまな環境問題や密猟などによって絶滅の危機に瀕しており、保護活動が重要
画像にある 42 種の昆虫について順に解説 — 以下はそれぞれの英名とカタカナ表記
これは、C. Eckart と G. Young により考案された SVD: Singular Value Decomposition (1936) であり、計算機科学の発展に相まって、ほぼすべての科学に応用される行列解析（数学）である。
行列 \(\Sigma\) (\(\in\mathbb{K}^{m\times n}\)) の対角要素は行列 \(M\) (\(\in\mathbb{K}^{m\times n}\)) の少なくとも 1 つ、高々 \(q\) (\(= \operatorname{min}(m, n)\)) 個の特異値に等しく、ユニタリ行列 \(U\) (\(\in\mathbb{K}^m\)), \(V\) (\(\in\mathbb{K}^n\)) は順に左特異ベクトル、右特異ベクトルとして、以下の分解が存在する。
\[
M = U\Sigma V^*
\]
ブラックホールのホーキング輻射に関するベッケンシュタイン=ホーキングの公式。ブラックホールのエントロピー \(S\), 光速 \(c\), ボルツマン定数 \(k\), ブラックホールの事象の地平面（イベントホライズン）の面積 \(A\), ディラック定数 \(\hbar\), 万有引力定数 \(G\) として、 \[ S = \frac{c^3kA}{4\hbar G} \] この式から、ブラックホールのエントロピー \(S\) はその事象の地平面の面積 \(A\) に比例することがわかる。
以下の導出は誤りである。 \[ \begin{gather*} A = B \\ A^2 = AB \\ 2A^2 = A^2 + AB \\ 2A^2 - 2AB = A^2 + AB - 2AB \\ 2A^2 - 2AB = A^2 - AB \\ 2A(A - B) = A(A - B) \\ 2A = A \\ \text{(ここで、\(A = B\) ゆえに \(A - B = 0\) で除算を行ってしまっている。)}\\ 2 = 1 \end{gather*} \]
\[ \begin{split} E_n &= \frac{h^2}{8ml^2}n^2 = \frac{(2\hbar\pi)^2}{8ml^2}n^2 = \frac{4\hbar^2\pi^2}{8ml^2}n^2 \\ &= \frac{\hbar^2\pi^2}{2ml^2}n^2 \end{split} \] これは、一見 (主観的に) 見慣れないけれども、以上のようにプランク定数からディラック定数に置き換えれば、 (主観的に) 見慣れた、１次元の井戸型ポテンシャル中の自由電子のエネルギー順位差となる。
これは、我々がいる銀河系に存在する、我々人類とコンタクトする可能性のある「地球外文明の数」の推定を行うための算術的な方程式である。
\[
N = R_* \times f_p \times n_e \times f_l \times f_i \times f_c \times L
\]
M, O, T, H はないものの、二文字の Mo Molybdenum (モリブデン), Th Thorium (トリウム) があるので、デザイン可能である。
| 記号 | 意味 |
|---|---|
| \(\Delta t'\) | 動いている観測者が測定する経過時間 |
| \(\Delta t\) | 静止系での経過時間 |
| \(v\) | 観測者の相対速度 |
| \(c\) | 光速（\(≈ 3.00 \times 10^8\) m/s） |
| 記号 | 意味 |
|---|---|
| \(\partial_\mu\) | 4次元時空における偏微分演算子 |
| \(F^{\mu\vartheta}\) | 電磁場テンソル（電場と磁場を統一的に表現） |
| \(\mu_0\) | 真空の透磁率（\(≈ 4π×10⁻⁷\) H/m） |
| \(J^{\vartheta}\) | 4元電流（電荷密度と電流密度の統合） |
\[ \boxed{\ \mathcal{L}_{\text{QED}} = \bar{\psi}(i\gamma^\mu D_\mu - m)\psi - \tfrac14 F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}\ } \quad \begin{aligned} D_\mu &= \partial_\mu + i q A_\mu,\\ F_{\mu\nu} &= \partial_\mu A_\nu - \partial_\nu A_\mu. \end{aligned} \]
\[ \boxed{\ F_{\mu\nu} = \frac{i}{g}[D_\mu, D_\nu] \ } \qquad D_\mu = \partial_\mu - i g\, T^a A^a_\mu \]
\[ \boxed{\ SU(2)_L \times U(1)_Y \ \xrightarrow{\ \langle H\rangle = v/\sqrt{2}\ }\ U(1)_{\text{em}} \ } \] \[ \begin{aligned} \mathcal{L} &\supset |D_\mu H|^2 - \lambda\!\left(H^\dagger H - \tfrac{v^2}{2}\right)^2,\\ m_W &= \tfrac12 g\,v, \qquad m_Z = \tfrac12 \sqrt{g^2 + g'^2}\,v, \qquad A_\mu = \sin\theta_W\, W^3_\mu + \cos\theta_W\, B_\mu . \end{aligned} \]
\[ \boxed{\ \partial_\mu J^\mu = 0\ } \qquad \text{(global phase)}\ \psi \to e^{i\alpha}\psi \]
\[ \boxed{\ \partial_\mu J_5^{\mu} = \frac{q^2}{16\pi^2}\, F_{\mu\nu}\,\tilde{F}^{\mu\nu}\ } \qquad \tilde{F}^{\mu\nu} \!=\! \tfrac12 \varepsilon^{\mu\nu\rho\sigma}F_{\rho\sigma} \]
\[ \boxed{\ F = dA + A \wedge A \ } \qquad D = d + A \]
以下は、 M. Veltman, Diagrammatica, Appendix E, pp. 251-257. の一時情報源と、 T. D. Gutierrez の 2023 年の修正版に依っているので、まず間違いはないと思われ、 むしろ、T シャツの方が誤っている可能性があり、 クォークとグルーオンの結合項の欠落、 ゲージ場の相互作用の符号・添字、 Goldstone 場とゴーストの質量項、 ニュートリノ部分の不整合、 閉じ括弧の欠落、等々（ChatGPT による）が間違っているらしい。
\[ \begin{aligned} % \mathcal{L}_{\mathrm{SM}} ={}& -\frac{1}{2}\partial_{\nu}g_{\mu}^{a}\partial_{\nu}g_{\mu}^{a} - g_{s}f^{abc}\partial_{\mu}g_{\nu}^{a}g_{\mu}^{b}g_{\nu}^{c} - \frac{1}{4}g_{s}^{2}f^{abc}f^{ade}g_{\mu}^{b}g_{\nu}^{c}g_{\mu}^{d}g_{\nu}^{e} + \frac{i g_s}{2}\bar{q}_{i}^{\sigma}\gamma^{\mu}(\lambda^a)_{ij}q_{j}^{\sigma}g_{\mu}^{a} \\ & -\partial_{\nu}W_{\mu}^{+}\partial_{\nu}W_{\mu}^{-} - M^{2}W_{\mu}^{+}W_{\mu}^{-} - \frac{1}{2}\partial_{\nu}Z_{\mu}^{0}\partial_{\nu}Z_{\mu}^{0} - \frac{1}{2c_{w}^{2}}M^{2}Z_{\mu}^{0}Z_{\mu}^{0} \\ & -\frac{1}{2}\partial_{\mu}A_{\nu}\partial_{\mu}A_{\nu} - igc_{w}(\partial_{\nu}Z_{\mu}^{0}(W_{\mu}^{+}W_{\nu}^{-} - W_{\nu}^{+}W_{\mu}^{-}) \\ & - Z_{\nu}^{0}(W_{\mu}^{+}\partial_{\nu}W_{\mu}^{-} - W_{\mu}^{-}\partial_{\nu}W_{\mu}^{+}) + Z_{\mu}^{0}(W_{\nu}^{+}\partial_{\nu}W_{\mu}^{-} - W_{\nu}^{-}\partial_{\nu}W_{\mu}^{+})) \\ & -igs_{w}(\partial_{\nu}A_{\mu}(W_{\mu}^{+}W_{\nu}^{-} - W_{\nu}^{+}W_{\mu}^{-}) - A_{\nu}(W_{\mu}^{+}\partial_{\nu}W_{\mu}^{-} - W_{\mu}^{-}\partial_{\nu}W_{\mu}^{+}) \\ & + A_{\mu}(W_{\nu}^{+}\partial_{\nu}W_{\mu}^{-} - W_{\nu}^{-}\partial_{\nu}W_{\mu}^{+})) - \frac{1}{2}g^{2}W_{\mu}^{+}W_{\mu}^{-}W_{\nu}^{+}W_{\nu}^{-} + \frac{1}{2}g^{2}W_{\mu}^{+}W_{\nu}^{-}W_{\mu}^{+}W_{\nu}^{-} \\ & +g^{2}c_{w}^{2}(Z_{\mu}^{0}W_{\mu}^{+}Z_{\nu}^{0}W_{\nu}^{-} - Z_{\mu}^{0}Z_{\mu}^{0}W_{\nu}^{+}W_{\nu}^{-}) + g^{2}s_{w}^{2}(A_{\mu}W_{\mu}^{+}A_{\nu}W_{\nu}^{-} - A_{\mu}A_{\mu}W_{\nu}^{+}W_{\nu}^{-}) \\ & +g^{2}s_{w}c_{w}(A_{\mu}Z_{\nu}^{0}(W_{\mu}^{+}W_{\nu}^{-} + W_{\nu}^{+}W_{\mu}^{-}) - 2A_{\mu}Z_{\mu}^{0}W_{\nu}^{+}W_{\nu}^{-}) \\ & -\frac{1}{2}\partial_{\mu}H\partial_{\mu}H - 2M^{2}\alpha_{H}H^{2} - \partial_{\mu}\phi^{+}\partial_{\mu}\phi^{-} - M^{2}\phi^{+}\phi^{-} - \frac{1}{2}\partial_{\mu}\phi^{0}\partial_{\mu}\phi^{0} - \frac{M^{2}}{2c_w^{2}}\phi^{0}\phi^{0} \\ % & -\beta_{H} \left( \frac{2M^{2}}{g^{2}} + \frac{2M}{g}H + \frac{1}{2}(H^{2} + \phi^{0}\phi^{0} + 2\phi^{+}\phi^{-}) \right) + \frac{2M^{4}}{g^{2}}\alpha_{H} - \\ & g\alpha_{H}M (H^{3} + H\phi^{0}\phi^{0} + 2H\phi^{+}\phi^{-}) - \\ & \frac{1}{8}g^{2}\alpha_{H} (H^{4} + (\phi^{0})^{4} + 4(\phi^{+}\phi^{-})^{2} + 4(\phi^{0})^{2}\phi^{+}\phi^{-} + 4H^{2}\phi^{+}\phi^{-} + 2(\phi^{0})^{2}H^{2}) - \\ & gMW_{\mu}^{+}W_{\mu}^{-}H - \frac{1}{2}g \frac{M}{c_{w}^{2}} Z_{\mu}^{0}Z_{\mu}^{0}H - \\ & \frac{1}{2}ig (W_{\mu}^{+}(\phi^{0}\partial_{\mu}\phi^{-} - \phi^{-}\partial_{\mu}\phi^{0}) - W_{\mu}^{-}(\phi^{0}\partial_{\mu}\phi^{+} - \phi^{+}\partial_{\mu}\phi^{0})) + \\ & \frac{1}{2}g (W_{\mu}^{+}(H\partial_{\mu}\phi^{-} - \phi^{-}\partial_{\mu}H) + W_{\mu}^{-}(H\partial_{\mu}\phi^{+} - \phi^{+}\partial_{\mu}H)) + \frac{1}{2}g \frac{1}{c_{w}} Z_{\mu}^{0}(H\partial_{\mu}\phi^{0} - \phi^{0}\partial_{\mu}H) + \\ & -ig \frac{s_{w}^{2}}{c_{w}} M Z_{\mu}^{0} (W_{\mu}^{+}\phi^{-} - W_{\mu}^{-}\phi^{+}) + igs_{w}MA_{\mu}(W_{\mu}^{+}\phi^{-} - \\ & W_{\mu}^{-}\phi^{+}) - ig \frac{1-2c_{w}^{2}}{2c_{w}} Z_{\mu}^{0} (\phi^{+}\partial_{\mu}\phi^{-} - \phi^{-}\partial_{\mu}\phi^{+}) + igs_{w}A_{\mu}(\phi^{+}\partial_{\mu}\phi^{-} - \phi^{-}\partial_{\mu}\phi^{+}) - \\ & \frac{1}{4}g^{2}W_{\mu}^{+}W_{\mu}^{-}(H^{2} + (\phi^{0})^{2} + 2\phi^{+}\phi^{-}) - \frac{1}{8}g^{2}\frac{1}{c_{w}^{2}} Z_{\mu}^{0}Z_{\mu}^{0} (H^{2} + (\phi^{0})^{2} + 2(2s_{w}^{2}-1)^{2}\phi^{+}\phi^{-}) - \\ & \frac{1}{2}g^{2}\frac{s_{w}^{2}}{c_{w}} Z_{\mu}^{0}\phi^{0} (W_{\mu}^{+}\phi^{-} + W_{\mu}^{-}\phi^{+}) - \frac{1}{2}ig^{2}\frac{s_{w}^{2}}{c_{w}} Z_{\mu}^{0}H (W_{\mu}^{+}\phi^{-} - W_{\mu}^{-}\phi^{+}) + \frac{1}{2}g^{2}s_{w}A_{\mu}\phi^{0} (W_{\mu}^{+}\phi^{-} + \\ & W_{\mu}^{-}\phi^{+}) + \frac{1}{2}ig^{2}s_{w}A_{\mu}H (W_{\mu}^{+}\phi^{-} - W_{\mu}^{-}\phi^{+}) - g^{2}\frac{s_{w}}{c_{w}}(2c_{w}^{2}-1)Z_{\mu}^{0}A_{\mu}\phi^{+}\phi^{-} - \\ & g^{2}s_{w}^{2}A_{\mu}A_{\mu}\phi^{+}\phi^{-} - \bar{e}^{\lambda}(\gamma \partial + m_{e}^{\lambda})e^{\lambda} - \bar{\nu}^{\lambda}\gamma \partial \nu^{\lambda} - \bar{u}_{j}^{\lambda}(\gamma \partial + m_{u}^{\lambda})u_{j}^{\lambda} - \bar{d}_{j}^{\lambda}(\gamma \partial + m_{d}^{\lambda})d_{j}^{\lambda} \\ % & +igs_{w}A_{\mu} \left[ -(\bar{e}^{\lambda}\gamma^{\mu}e^{\lambda}) + \frac{2}{3}(\bar{u}_{j}^{\lambda}\gamma^{\mu}u_{j}^{\lambda}) - \frac{1}{3}(\bar{d}_{j}^{\lambda}\gamma^{\mu}d_{j}^{\lambda}) \right] \\ & +\frac{ig}{4c_{w}}Z_{\mu}^{0} \left[ (\bar{\nu}^{\lambda}\gamma^{\mu}(1+\gamma^{5})\nu^{\lambda}) + (\bar{e}^{\lambda}\gamma^{\mu}(4s_{w}^{2}-1-\gamma^{5})e^{\lambda}) \right. \\ & \left. + (\bar{d}_{j}^{\lambda}\gamma^{\mu}(\frac{4}{3}s_{w}^{2}-1-\gamma^{5})d_{j}^{\lambda}) + (\bar{u}_{j}^{\lambda}\gamma^{\mu}(1-\frac{8}{3}s_{w}^{2}+\gamma^{5})u_{j}^{\lambda}) \right] \\ & +\frac{ig}{2\sqrt{2}}W_{\mu}^{+} \left[ (\bar{\nu}^{\lambda}\gamma^{\mu}(1+\gamma^{5})e^{\lambda}) + (\bar{u}_{j}^{\lambda}\gamma^{\mu}(1+\gamma^{5})C_{\lambda\kappa}d_{j}^{\kappa}) \right] \\ & +\frac{ig}{2\sqrt{2}}W_{\mu}^{-} \left[ (\bar{e}^{\lambda}\gamma^{\mu}(1+\gamma^{5})\nu^{\lambda}) + (\bar{d}_{j}^{\kappa}C_{\kappa\lambda}^{\dagger}\gamma^{\mu}(1+\gamma^{5})u_{j}^{\lambda}) \right] \\ & -\frac{ig}{2M\sqrt{2}}m_{e}^{\lambda}\phi^{+}\bar{\nu}^{\lambda}(1-\gamma^{5})e^{\lambda} \\ % & +\frac{ig}{2M\sqrt{2}}m_{e}^{\lambda}\phi^{-}\bar{e}^{\lambda}(1+\gamma^{5})\nu^{\lambda} \\ & -\frac{g}{2M}m_{e}^{\lambda}H(\bar{e}^{\lambda}e^{\lambda}) - \frac{ig}{2M}m_{e}^{\lambda}\phi^{0}(\bar{e}^{\lambda}\gamma^{5}e^{\lambda}) \\ & +\frac{ig}{2M\sqrt{2}}\phi^{+} \left[ -m_{d}^{\kappa}(\bar{u}_{j}^{\lambda}C_{\lambda\kappa}(1-\gamma^{5})d_{j}^{\kappa}) + m_{u}^{\lambda}(\bar{u}_{j}^{\lambda}C_{\lambda\kappa}(1+\gamma^{5})d_{j}^{\kappa}) \right] \\ & +\frac{ig}{2M\sqrt{2}}\phi^{-} \left[ m_{d}^{\kappa}(\bar{d}_{j}^{\kappa}C_{\kappa\lambda}^{\dagger}(1+\gamma^{5})u_{j}^{\lambda}) - m_{u}^{\lambda}(\bar{d}_{j}^{\kappa}C_{\kappa\lambda}^{\dagger}(1-\gamma^{5})u_{j}^{\lambda}) \right] \\ & -\frac{g}{2M}m_{u}^{\lambda}H(\bar{u}_{j}^{\lambda}u_{j}^{\lambda}) - \frac{g}{2M}m_{d}^{\lambda}H(\bar{d}_{j}^{\lambda}d_{j}^{\lambda}) \\ & +\frac{ig}{2M}\phi^{0} \left[ m_{u}^{\lambda}(\bar{u}_{j}^{\lambda}\gamma^{5}u_{j}^{\lambda}) - m_{d}^{\lambda}(\bar{d}_{j}^{\lambda}\gamma^{5}d_{j}^{\lambda}) \right] \\ & +\bar{G}^{a}\partial^{2}G^{a} + g_{s}f^{abc}\partial_{\mu}\bar{G}^{a}G^{b}g_{\mu}^{c} \\ & + \bar{X}^{+}(\partial^{2}-M^{2})X^{+} + \bar{X}^{-}(\partial^{2}-M^{2})X^{-} + \bar{X}^{0}(\partial^{2}-M^{2}/c_{w}^{2})X^{0} + \bar{Y}\partial^{2}Y \\ % & + igc_{w}W_{\mu}^{+}(\partial_{\mu}\bar{X}^{0}X^{-} - \partial_{\mu}\bar{X}^{+}X^{0}) + igc_{w}W_{\mu}^{-}(\partial_{\mu}\bar{X}^{-}X^{0} - \partial_{\mu}\bar{X}^{0}X^{+}) \\ & + igs_{w}W_{\mu}^{+}(\partial_{\mu}\bar{Y}X^{-} - \partial_{\mu}\bar{X}^{+}Y) + igs_{w}W_{\mu}^{-}(\partial_{\mu}\bar{X}^{-}Y - \partial_{\mu}\bar{Y}X^{+}) \\ & + igc_{w}Z_{\mu}^{0}(\partial_{\mu}\bar{X}^{+}X^{+} - \partial_{\mu}\bar{X}^{-}X^{-}) + igs_{w}A_{\mu}(\partial_{\mu}\bar{X}^{+}X^{+} - \partial_{\mu}\bar{X}^{-}X^{-}) \\ & -\frac{1}{2}gM(\bar{X}^{+}X^{+}H + \bar{X}^{-}X^{-}H + \frac{1}{c_{w}^{2}}\bar{X}^{0}X^{0}H) \\ & + \frac{1-2c_{w}^{2}}{2c_{w}}igM(\bar{X}^{+}X^{0}\phi^{+} - \bar{X}^{-}X^{0}\phi^{-}) + \frac{1}{2c_{w}}igM(\bar{X}^{0}X^{-}\phi^{+} - \bar{X}^{0}X^{+}\phi^{-}) \\ & + igMs_{w}(\bar{X}^{-}Y\phi^{-} - \bar{X}^{+}Y\phi^{+}) + \frac{1}{2}igM(\bar{X}^{+}X^{+}\phi^{0} - \bar{X}^{-}X^{-}\phi^{0}) \end{aligned} \](2026/07/07)