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Quaternion-valued exponential are derived as follows:

$e^{q} = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{1}{n!} q^{n} {= e}^{Sq} (\cos (AVq) + UVq \sin (AVq))$

where

$q = a + b i + c j + d k, Sq = a, Vq = b i + c j + d k, Uq = \frac{q}{Aq}, Aq = |q| = \sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2} + d^{2}} = \sqrt{q \bar{q}}, \bar{q} = Sq - Vq = a - (b i + c j + d k)$

and

$UVq = \frac{b i + c j + d k}{AVq}, AVq = \sqrt{b^{2} + c^{2} + d^{2}}$

because

${UVq}^{2} = - 1, i^{2} = j^{2} = k^{2} = - 1, i j = - j i = k, j k = - k j = i, k i = - i k = j$