math_rock-scissors-paper

<p>
\(n\) 人で「じゃんけん」をして「あいこ」になる確率 \(p\) を求めよ。
<small><br/><br/>
\(n\) 人に「グー・チョキ・パー」の３種類を割り振ればよい。考え方は「グループ分け」であるのだが、後述の解法が如何に「グループ分け」に繋るのかを示す。
</small>
</p>
<p>
さて、各々がグー・チョキ・パーの３種類のうちを一つを選んで、全員（\(n\) 人）が取りうる場合の数は：
\[
3^n
\]
これが、まず念頭におくべき全ての場合の数＝<em>全事象</em>の数である。例えば、\(n=2\)、二人の「じゃんけん」では \(3^2 = 9\) である。
</p>
<p>
さて、求めるべき<em>事象</em>は「あいこ」である。
</p>
<p>
まず、「勝ち・負け」のパターンは「グー・チョキ」「チョキ・パー」「パー・グー」の３種類である。
</p>
<p>
また、「あいこ」のパターンのうち、全員が「グー」を出す場合の数１、そして「グー・チョキ・パー」のいずれかを揃って全員が出す場合の数３である。しかし、「あいこ」になる場合は他に「グー・チョキ・パー」の全てを全員が必ず出す場合（全射）の数があり、それは末尾＊に譲る。ここでは、それらを含めて「あいこ」にならない場合、つまり「勝ち・負け」の場合、<em>余事象</em>の数を考える。
</p>
<p>
では、例えばグーが勝つ「グー・チョキ」の１種類のみ全員に割り振る。その場合の数は：
\[
2^n
\]
すると、「グー」グループの勝ちと考えがちだが、「チョキ」グループが０人である場合が１この中に含まれる。加えて、その逆「グー」グループが０人の場合が１ある。よって、「グーが勝つ」場合の数は：
\(
2^n - 2
\)
</p>
これが「グー・チョキ」「チョキ・パー」「パー・グー」の３種類ある。よって、「勝ち・負け」の場合の数は以下のようになる。
<p>
\[
3(2^n - 2)
\]
</p>
<p>
この<em>余事象</em>の数を<em>全事象</em>の数で割れば、それが以下の<em>余事象</em>「勝ち・負け」の確率 \(q\) である。
\[
q= \frac{3(2^n - 2)}{3^n}
\]
</p>
<p>
ゆえに<em>事象</em>「あいこ」の確率 \(p = 1 - q\) は以下となる。
\[
\begin{aligned}
p &= 1 - \frac{3(2^n - 2)}{3^n}
= 1 - \frac{2^n - 2}{3^{n-1}}\\
&= \frac{3^n - 3\cdot 2^n + 3\cdot 2}{3^n}
= \frac{3 + (3 - 3\cdot 2^n + 3^n)}{3^n}
\end{aligned}
\]
</p>
<div style="text-align: right;">\(\Box\)</div>
<p>
＊ちなみに、分子の第１項の \(3\) は「グー・チョキ・パー」のいずれかを揃って全員が出す場合の数を意味していて、第２項の \((3 - 3\cdot 2^n + 3^n)\) は「グー・チョキ・パー」のグループ分けを行なった場合（全射）の数を表している。「グー・チョキ・パー」の３種類において全射は以下のようになる。
\[
\sum_{i=1}^{3}(-1)^{3-i}\dbinom{3}{i}i^n = 3 - 3\cdot 2^n + 3^n
\]
</p>
<p>
以下では、関連する公式を紹介する。
</p>
<p>
二項係数 \(\binom{n}{k}\) の公式：
\[
\dbinom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}
\]
全射の数の公式：
\[
k!\dstirlii{n}{k} =
\sum_{i=1}^{k}(-1)^{k-i}\dbinom{k}{i}i^n
\]
</p>
<p>
第２種スターリング数 \(\stirlii{n}{k}\) の公式：
\[
\dstirlii{n}{k} =
\frac1{k!}\sum_{i=1}^{k}(-1)^{k-i}\dbinom{k}{i}i^n
\]
</p>
<p>
ベル数 \(B(n, j)\) の公式：
\[
B(n, j) =
\sum_{i=1}^{j}\begin{Bmatrix}n\\i\end{Bmatrix} =
\sum_{k=1}^{j}\frac1{k!}\sum_{i=1}^{k}(-1)^{k-i}\dbinom{k}{i}i^n
\]
</p>
<p>
以下では、関連する三角形を紹介する。まずは、二項係数 \(\binom{n}{k}\)：
\[
\dbinom{n}{k} =
\begin{cases}
\dbinom{n-1}{k-1} + \dbinom{n-1}{k}\\
1&\text{for }k=0, k=n
\end{cases}
\]
<div>
<table class="table-bordered" style="font-family: monospace; table-layout: fixed; width: 24rem;">
<caption class="text-center">パスカルの三角形（二項係数）</caption>
<thead style="text-align: right;">
<tr><th>\(n\)\\(k\)</th><th> 0</th><th> 1</th><th> 2</th><th> 3</th><th> 4</th><th> 5</th><th> 6</th><th> 7</th></tr>
</thead>
<tbody style="text-align: right;">
<tr><th>0</th><td>1</td></tr>
<tr><th>1</th><td>1</td><td>1</td></tr>
<tr><th>2</th><td>1</td><td>2</td><td>1</td></tr>
<tr><th>3</th><td>1</td><td>3</td><td>3</td><td>1</td></tr>
<tr><th>4</th><td>1</td><td>4</td><td>6</td><td>4</td><td>1</td></tr>
<tr><th>5</th><td>1</td><td>5</td><td>10</td><td>10</td><td>5</td><td>1</td></tr>
<tr><th>6</th><td>1</td><td>6</td><td>15</td><td>20</td><td>15</td><td>6</td><td>1</td></tr>
<tr><th>7</th><td>1</td><td>7</td><td>21</td><td>35</td><td>35</td><td>21</td><td>7</td><td>1</td></tr>
</tbody>
</table>
</div>
第１種スターリング数 \(\stirli{n}{k}\)：
\[
\dstirli{n}{k} =
\begin{cases}
\dstirli{n-1}{k-1} + (n-1)\dstirli{n-1}{k}\\
1&\text{for }n=0, k=0
\end{cases}
\]
<div>
<table class="table-bordered" style="font-family: monospace; table-layout: fixed; width: 24rem;">
<caption class="text-center">第１種スターリング数</caption>
<thead style="text-align: right;">
<tr><th>\(n\)\\(k\)</th><th> 0</th><th> 1</th><th> 2</th><th> 3</th><th> 4</th><th> 5</th><th> 6</th><th> 7</th></tr>
</thead>
<tbody style="text-align: right;">
<tr><th>0</th><td>1</td></tr>
<tr><th>1</th><td>0</td><td>1</td></tr>
<tr><th>2</th><td>0</td><td>1</td><td>1</td></tr>
<tr><th>3</th><td>0</td><td>2</td><td>3</td><td>1</td></tr>
<tr><th>4</th><td>0</td><td>6</td><td>11</td><td>6</td><td>1</td></tr>
<tr><th>5</th><td>0</td><td>24</td><td>50</td><td>35</td><td>10</td><td>1</td></tr>
<tr><th>6</th><td>0</td><td>120</td><td>274</td><td>225</td><td>85</td><td>15</td><td>1</td></tr>
<tr><th>7</th><td>0</td><td>720</td><td>1764</td><td>1624</td><td>735</td><td>175</td><td>21</td><td>1</td></tr>
</tbody>
</table>
</div>
第２種スターリング数 \(\stirlii{n}{k}\)：
\[
\dstirlii{n}{k} =
\begin{cases}
\dstirlii{n-1}{k-1} + k\dstirlii{n-1}{k}\\
1&\text{for }n=0, k=0
\end{cases}
\]
<div>
<table class="table-bordered" style="font-family: monospace; table-layout: fixed; width: 24rem;">
<caption class="text-center">第２種スターリング数</caption>
<thead style="text-align: right;">
<tr><th>\(n\)\\(k\)</th><th> 0</th><th> 1</th><th> 2</th><th> 3</th><th> 4</th><th> 5</th><th> 6</th><th> 7</th></tr>
</thead>
<tbody style="text-align: right;">
<tr><th>0</th><td>1</td></tr>
<tr><th>1</th><td>0</td><td>1</td></tr>
<tr><th>2</th><td>0</td><td>1</td><td>1</td></tr>
<tr><th>3</th><td>0</td><td>1</td><td>3</td><td>1</td></tr>
<tr><th>4</th><td>0</td><td>1</td><td>7</td><td>6</td><td>1</td></tr>
<tr><th>5</th><td>0</td><td>1</td><td>15</td><td>25</td><td>10</td><td>1</td></tr>
<tr><th>6</th><td>0</td><td>1</td><td>31</td><td>90</td><td>65</td><td>15</td><td>1</td></tr>
<tr><th>7</th><td>0</td><td>1</td><td>63</td><td>301</td><td>350</td><td>140</td><td>21</td><td>1</td></tr>
</tbody>
</table>
</div>
全射の数 \(k!\stirlii{n}{k}\)：
<div>
<table class="table-bordered" style="font-family: monospace; table-layout: fixed; width: 24rem;">
<caption class="text-center">全射の数</caption>
<thead style="text-align: right;">
<tr><th>\(n\)\\(k\)</th><th> 0</th><th> 1</th><th> 2</th><th> 3</th><th> 4</th><th> 5</th><th> 6</th><th> 7</th></tr>
</thead>
<tbody style="text-align: right;">
<tr><th>0</th><td>0</td></tr>
<tr><th>1</th><td>0</td><td>1</td></tr>
<tr><th>2</th><td>0</td><td>1</td><td>2</td></tr>
<tr><th>3</th><td>0</td><td>1</td><td>6</td><td>6</td></tr>
<tr><th>4</th><td>0</td><td>1</td><td>14</td><td>36</td><td>24</td></tr>
<tr><th>5</th><td>0</td><td>1</td><td>30</td><td>150</td><td>240</td><td>120</td></tr>
<tr><th>6</th><td>0</td><td>1</td><td>62</td><td>540</td><td>1560</td><td>1800</td><td>720</td></tr>
<tr><th>7</th><td>0</td><td>1</td><td>126</td><td>1806</td><td>8400</td><td>16800</td><td>15120</td><td>5040</td></tr>
</tbody>
</table>
</div>
ベル数 \(B(n, k)\)：
<div>
<table class="table-bordered" style="font-family: monospace; table-layout: fixed; width: 24rem;">
<caption class="text-center">ベル数</caption>
<thead style="text-align: right;">
<tr><th>\(n\)\\(k\)</th><th> 0</th><th> 1</th><th> 2</th><th> 3</th><th> 4</th><th> 5</th><th> 6</th></tr>
</thead>
<tbody style="text-align: right;">
<tr><th>0</th><td>0</td></tr>
<tr><th>1</th><td>0</td><td>1</td></tr>
<tr><th>2</th><td>0</td><td>1</td><td>2</td></tr>
<tr><th>3</th><td>0</td><td>1</td><td>4</td><td>5</td></tr>
<tr><th>4</th><td>0</td><td>1</td><td>8</td><td>14</td><td>15</td></tr>
<tr><th>5</th><td>0</td><td>1</td><td>16</td><td>41</td><td>51</td><td>52</td></tr>
<tr><th>6</th><td>0</td><td>1</td><td>31</td><td>122</td><td>187</td><td>202</td><td>203</td></tr>
</tbody>
</table>
</div>
</p>