urn_problem

<p>
壺に \(c\) 色の玉が \(a_i (i=1,2,\cdots,c)\) 個入っている。以下の条件で無作為に玉を一つ取り出したときに、\(n\) 回目で \(j\) 番目の色の玉が出る確率を求めよ。
<ol>
<li>\(j\) 番目の色の玉が出たときに、それを壺に戻した上で同色の玉を \(m\) 個壺に継ぎ足した場合。</li>
<li>\(j\) 番目の色の玉が出たときに、それを壺に戻す場合。玉の継ぎ足しはしない。</li>
<li>\(j\) 番目の色の玉が出たときに、それを壺に戻さない場合。玉の継ぎ足しもしない。</li>
</ol>
</p>
<p>
玉の総数を以下のように \(N\) とおく。
\[
N = \sum_{i=1}^{c}a_i
\]
</p>
<h2>1. 一般化されたポリアの壺問題</h2>
<p>
まず、\(1\) 回目で \(j\) 番目の色の玉が出る確率 \(p_1\) と出ない確率 \(1-p_1\)は：
\[
p_1 = \frac{a_j}{N}, \qquad{}1-p_1 = \frac{N - a_j}{N}
\]
よって、\(2\) 回目で \(j\) 番目の色の玉が出る確率 \(p_2\) は：
\[
\begin{aligned}
p_2
&= p_1\frac{a_j + m}{N + m} + (1-p_1)\frac{a_j}{N+m}\\
&= \frac{a_j(a_j + m) + a_j(N-a_j)}{N(N + m)}\\
&= \frac{a_j(m + N)}{N(N + m)} = \frac{a_j}{N}\\
\end{aligned}
\]
そこで、\(k\) 回目で \(j\) 番目の色の玉が出る確率 \(p_k\) と出ない確率 \(q_k\) を以下のように仮定する。
\[
p_k = \frac{a_j}{N} = p_1, \qquad{}1-p_k = \frac{N - a_j}{N} = 1-p_1
\]
すると、\(k+1\) 回目で \(j\) 番目の色の玉が出る確率 \(p_{k+1}\) は、同様に：
\[
\begin{aligned}
p_{k+1}
&= p_k\frac{a_j + m}{N + m} + (1-p_k)\frac{a_j}{N+m}= \frac{a_j}{N}\\
\end{aligned}
\]
よって、数学的帰納法により \(n\) 回目で \(j\) 番目の色の玉が出る確率は常に以下の通り。
\[
p_n = \frac{a_j}{N} = \frac{a_j}{\sum_{i=1}^{c}a_i}
\]
</p>
<h2>2. ポリアの壺問題</h2>
<p>
1. で玉の継ぎ足しの数 \(m=0\) の場合で、それでもなんら矛盾せず、明らかに \(n\) 回目で \(j\) 番目の色の玉が出る確率は常に以下の通りである。
\[
p_n = \frac{a_j}{N} = \frac{a_j}{\sum_{i=1}^{c}a_i}
\]
</p>
<p>
例えば、玉の色が赤、緑、青で \(a_i=\{1, 2, 3\}, c=3\) のように具体的に考えてみると、\(n\) 回目で赤 \((j=1)\) 色の玉が出る確率は：
\[
p_1 = \frac{1}{6}, \qquad{}1-p_1 = \frac{6-1}{6} = \frac{5}{6}
\]
\[
p_2 = p_1\frac{1}{6} + (1-p_1)\frac{1}{6} = \frac{1}{6}
\]
\(p_k = p_1\) を仮定して、数学的帰納法により以下が成り立つ。
\[
p_{k+1} = p_k\frac{1}{6} + (1-p_k)\frac{1}{6} = \frac{1}{6}
\]
</p>
<h2 style="page-break-before: always;">3. 壺問題</h2>
<p>
1. で玉の継ぎ足しの数 \(m=-1\) の場合と考えるのは誤りで、\(a_j\) が \(k\) 回目の試行 \((2\le k\le n)\) に依存するので上の議論は成り立たない。そもそも、玉は増えたりはしないので、単純に順列の問題となる。
</p>
<p>
取り出した玉を \(n\) 個並べた場合の数は：
\[
\begin{aligned}
\permu{N}{n} &= N^{\underline{n}} = \prod_{i=1}^{n}(N-i+1)\\
&= N(N-1)(N-2)\cdots(N-n+1)\\
\end{aligned}
\]
そのうち \(n\) 個目が \(j\) 番目の色の玉である場合の数は：
\[
\begin{aligned}
a_j(\permu{N-1}{n-1}) &= a_j(N-1)^{\underline{n-1}} = a_j\prod_{i=1}^{n-1}(N-1-i+1)\\
&= a_j(N-1)(N-2)(N-3)\cdots(N-n+1)
\end{aligned}
\]
よって、\(n\) 回目で \(j\) 番目の色の玉が出る確率は：
\[
\begin{aligned}
\cfrac{a_j(\permu{N-1}{n-1})}{\permu{N}{n}} &= \cfrac{a_j(N-1)^{\underline{n-1}}}{N^{\underline{n}}}\\
&=\cfrac{a_j\prod_{i=1}^{n-1}(N-1-i+1)}{\prod_{i=1}^{n}(N-i+1)}\\
&= \cfrac{a_j\prod_{i=1}^{n}(N-i+1)}{N\prod_{i=1}^{n}(N-i+1)} = \frac{a_j}{N}\\
\end{aligned}
\]
ここでは下降階乗冪の性質 \(n(n-1)^{\underline{k-1}} = n^{\underline{k}}\) を用いている。
</p>
<p>
例えば、玉の色が赤、緑、青で \(a_i=\{1, 2, 3\}, c=3, n=2\) のように具体的に考えてみる。すべての場合の数は：
\[
\permu{6}{2} = 6^{\underline{2}} = 30
\]
実際に列挙してみると以下の通り。
<div class="container-fluid">
  <div class="row">
    <div class="col-4 small">
<ol>
<li>\(\text{\colorbox{lightcoral}{赤}}_1\text{\colorbox{lawngreen}{緑}}_1\)</li>
<li>\(\text{\colorbox{lightcoral}{赤}}_1\text{\colorbox{lawngreen}{緑}}_2\)</li>
<li>\(\text{\colorbox{lightcoral}{赤}}_1\text{\colorbox{deepskyblue}{青}}_1\)</li>
<li>\(\text{\colorbox{lightcoral}{赤}}_1\text{\colorbox{deepskyblue}{青}}_2\)</li>
<li>\(\text{\colorbox{lightcoral}{赤}}_1\text{\colorbox{deepskyblue}{青}}_3\)</li>
<li>\(\text{\colorbox{lawngreen}{緑}}_1\text{\colorbox{lightcoral}{赤}}_1\)</li>
<li>\(\text{\colorbox{lawngreen}{緑}}_1\text{\colorbox{lawngreen}{緑}}_2\)</li>
<li>\(\text{\colorbox{lawngreen}{緑}}_1\text{\colorbox{deepskyblue}{青}}_1\)</li>
<li>\(\text{\colorbox{lawngreen}{緑}}_1\text{\colorbox{deepskyblue}{青}}_2\)</li>
<li>\(\text{\colorbox{lawngreen}{緑}}_1\text{\colorbox{deepskyblue}{青}}_3\)</li>
</ol>
    </div>
    <div class="col-4 small">
<ol start="11">
<li>\(\text{\colorbox{lawngreen}{緑}}_2\text{\colorbox{lightcoral}{赤}}_1\)</li>
<li>\(\text{\colorbox{lawngreen}{緑}}_2\text{\colorbox{lawngreen}{緑}}_1\)</li>
<li>\(\text{\colorbox{lawngreen}{緑}}_2\text{\colorbox{deepskyblue}{青}}_1\)</li>
<li>\(\text{\colorbox{lawngreen}{緑}}_2\text{\colorbox{deepskyblue}{青}}_2\)</li>
<li>\(\text{\colorbox{lawngreen}{緑}}_2\text{\colorbox{deepskyblue}{青}}_3\)</li>
<li>\(\text{\colorbox{deepskyblue}{青}}_1\text{\colorbox{lightcoral}{赤}}_1\)</li>
<li>\(\text{\colorbox{deepskyblue}{青}}_1\text{\colorbox{lawngreen}{緑}}_1\)</li>
<li>\(\text{\colorbox{deepskyblue}{青}}_1\text{\colorbox{lawngreen}{緑}}_2\)</li>
<li>\(\text{\colorbox{deepskyblue}{青}}_1\text{\colorbox{deepskyblue}{青}}_2\)</li>
<li>\(\text{\colorbox{deepskyblue}{青}}_1\text{\colorbox{deepskyblue}{青}}_3\)</li>
</ol>
    </div>
    <div class="col-4 small">
<ol start="21">
<li>\(\text{\colorbox{deepskyblue}{青}}_2\text{\colorbox{lightcoral}{赤}}_1\)</li>
<li>\(\text{\colorbox{deepskyblue}{青}}_2\text{\colorbox{lawngreen}{緑}}_1\)</li>
<li>\(\text{\colorbox{deepskyblue}{青}}_2\text{\colorbox{lawngreen}{緑}}_2\)</li>
<li>\(\text{\colorbox{deepskyblue}{青}}_2\text{\colorbox{deepskyblue}{青}}_1\)</li>
<li>\(\text{\colorbox{deepskyblue}{青}}_2\text{\colorbox{deepskyblue}{青}}_3\)</li>
<li>\(\text{\colorbox{deepskyblue}{青}}_3\text{\colorbox{lightcoral}{赤}}_1\)</li>
<li>\(\text{\colorbox{deepskyblue}{青}}_3\text{\colorbox{lawngreen}{緑}}_1\)</li>
<li>\(\text{\colorbox{deepskyblue}{青}}_3\text{\colorbox{lawngreen}{緑}}_2\)</li>
<li>\(\text{\colorbox{deepskyblue}{青}}_3\text{\colorbox{deepskyblue}{青}}_1\)</li>
<li>\(\text{\colorbox{deepskyblue}{青}}_3\text{\colorbox{deepskyblue}{青}}_2\)</li>
</ol>
    </div>
  </div>
<div>
\(2\) 回目で赤 \((j=1)\) 色の玉が出る場合の数とその確率は：
\[
1(\permu{6-1}{2-1}) = 1(6-1)^{\underline{2-1}} = 5, \qquad{}\frac{5}{30} = \frac{1}{6}
\]
\(2\) 回目で緑 \((j=2)\) 色の玉が出る場合の数とその確率は：
\[
2(\permu{6-1}{2-1}) = 2(6-1)^{\underline{2-1}} = 10, \qquad{}\frac{10}{30} = \frac{1}{3}
\]
\(2\) 回目で青 \((j=3)\) 色の玉が出る場合の数とその確率は：
\[
3(\permu{6-1}{2-1}) = 3(6-1)^{\underline{2-1}} = 15, \qquad{}\frac{15}{30} = \frac{1}{2}
\]
</p>