直列多重振り子

(問題) $n$個のおもりが直列に連結された多重振り子(Series-Multiple Pendulum)がある。 これらは重力と逆向きの方向を$y$軸とする$xy$平面上で回転運動するものとする。 おもり1は質量$m_1$で、 原点$O$に固定された回転軸$O_1$から長さ$l_1$の糸でつるされている。 その他のおもり $i(i=2,\ldots\,n)$は質量$m_i$で、 おもり$i-1$に固定された回転軸$O_i$から長さ$l_i$の糸でつるされている。 この多重振り子のラグランジュ運動方程式を記述せよ。 また、計算機シミュレーションなどをしやすいように、 求められた2階常微分方程式を連立の1階常微分方程式に変換せよ。 また、この振り子が各々の角速度に比例する抵抗 や外力 を受けている場合においても同様に求めよ。

(解答) おもり $i(i=1,\ldots,n)$のy軸に対する角度を$\theta_i$とする。 おもり $i(i=1,\ldots,n)$の位置$G_i$の座標 $(x_{G_i},y_{G_i})$およびその速度$V_{G_i}$の2乗は、

$$x_{G_i} = \sum_{j=1}^i l_j\sin\theta_j$$ (151)

$$y_{G_i} = -\sum_{j=1}^i l_j\cos\theta_j$$ (152)

$$V_{G_i}^2 = \dot x_{G_i}^2 + \dot y_{G_i}^2$$

$$= \left(\sum_{j=1}^i l_j\dot\theta _j\cos\theta_j\right)^2 + \left(\sum_{j=1}^i l_j\dot\theta _j\sin\theta_j\right)^2$$

$$= \sum_{j=1}^i l_j^2\dot\theta _j^2 + 2\sum_{j=1}^i\sum_{k=j+1}^i l_jl_k\dot\theta _j\dot\theta _k\cos(\theta_j-\theta_k)$$ (153)

となる。 ここで、おもり $i(i=1,\ldots,n)$の運動エネルギー$T_i$および位置エネルギー$U_i$は、

$$T_i = \frac12 m_i V_{G_i}^2$$

$$= \frac12 m_i \left\{ \sum_{j=1}^i l_j^2\dot\theta _j^2 + 2\sum_{j=... ...\sum_{k=j+1}^i l_jl_k\dot\theta _j\dot\theta _k\cos(\theta_j-\theta_k) \right\}$$

$$= \frac12 m_i \sum_{j=1}^i l_j^2\dot\theta _j^2 + m_i \sum_{j=1}^i\sum_{k=j+1}^i l_jl_k\dot\theta _j\dot\theta _k\cos(\theta_j-\theta_k)$$ (154)

$$U_i = m_i g y_{G_i}$$

$$= -m_i g \sum_{j=1}^i l_j\cos\theta_j$$ (155)

となる。 この多重振り子のラグランジュ関数$L$は、

$$L = T - U$$

$$= \sum_{i=1}^nT_i - \sum_{i=1}^nU_i$$

$$= \sum_{i=1}^n \left\{ \frac12 m_i \sum_{j=1}^i l_j^2\dot\theta _j^... ...ta_k) \right\} + \sum_{i=1}^n \left( m_i g \sum_{j=1}^i l_j\cos\theta_j \right)$$

$$= \frac12 \sum_{i=1}^n m_i \sum_{j=1}^i l_j^2\dot\theta _j^2 + \sum... ...eta _k\cos(\theta_j-\theta_k) + \sum_{i=1}^n m_i g \sum_{j=1}^i l_j\cos\theta_j$$

$$= \frac12 \sum_{i=1}^n \left\{ \sum_{k=i}^n m_k l_i^2\dot\theta _i^... ...s(\theta_i-\theta_j) \right\} + \sum_{i=1}^n \sum_{k=i}^n m_k g l_i\cos\theta_i$$

となる。 このラグランジュ関数$L$から $\theta_d(d=1,\ldots,n)$ に関するラグランジュ運動方程式をたてるには、 以下の関係式を用いればよい。

$$\begin{eqnarray*} \frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial\dot\theta _d} - \frac{\partial L}{\partial\theta_d} &=& 0 \end{eqnarray*}$$

これを具体的に求めると、

$$\frac{\partial L}{\partial\dot\theta_d} = m_{d..n} l_d^2\dot\theta _d + \frac12 \sum_{\stackrel{i=1}{i=d}}^... ...} l_il_j\frac{\partial}{\partial\dot\theta _d}\dot\theta _i\dot\theta _jC_{i,j}$$

$$= m_{d..n} l_d^2\dot\theta _d + \sum_{i=1}^{d-1} m_{d..n} l_d l_i \dot\theta _iC_{d,i} + \sum_{i=d+1}^{n} m_{i..n} l_d l_i \dot\theta _iC_{d,i}$$ (156)

$$\Rightarrow \frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial\dot\theta_d} = m_{d..n} l_d^2\ddot\theta _d + \sum_{i=1}^{d-1} m_{d..n} l_d l_i ... ...dot\theta _iC_{d,i} - \dot\theta _i(\dot\theta _d-\dot\theta _i)S_{d,i}\right\}$$

$$+ \sum_{i=d+1}^{n} m_{i..n} l_d l_i \left\{\ddot\theta _iC_{d,i} - \dot\theta _i(\dot\theta _d-\dot\theta _i)S_{d,i}\right\}$$

$$= m_{d..n} l_d^2\ddot\theta _d + \sum_{i=1}^{d-1} m_{d..n} l_d l_i ... ..._{i=1}^{d-1} m_{d..n} l_d l_i \dot\theta _i(\dot\theta _d-\dot\theta _i)S_{d,i}$$

$$+ \sum_{i=d+1}^{n} m_{i..n} l_d l_i \ddot\theta _iC_{d,i} - \sum_{i=d+1}^{n} m_{i..n} l_d l_i \dot\theta _i(\dot\theta _d-\dot\theta _i)S_{d,i}$$

$$= m_{d..n} l_d^2\ddot\theta _d$$

$$+ \sum_{i=1}^{d-1} m_{d..n} l_d l_i \ddot\theta _iC_{d,i} - \sum_... ...\dot\theta _iS_{d,i} + \sum_{i=1}^{d-1} m_{d..n} l_d l_i \dot\theta _i^2S_{d,i}$$

$$+ \sum_{i=d+1}^{n} m_{i..n} l_d l_i \ddot\theta _iC_{d,i} - \sum_... ...\dot\theta _iS_{d,i} + \sum_{i=d+1}^{n} m_{i..n} l_d l_i \dot\theta _i^2S_{d,i}$$ (157)

$$- \frac{\partial L}{\partial\theta_d} = -\frac12 \sum_{\stackrel{i=1}{i=d}}^n \sum_{\stackrel{j=1}{j=d}}^... ...t\theta _j\frac{\partial}{\partial\theta_d}C_{i,j} + m_{d..n} g l_d\sin\theta_d$$

$$= \sum_{i=1}^{d-1} m_{d..n} l_d l_i \dot\theta _d\dot\theta _iS_{d,... ...m_{i..n} l_d l_i \dot\theta _d\dot\theta _iS_{d,i} + m_{d..n} g l_d\sin\theta_d$$ (158)

但しここで、

$$m_{k..l} = \sum_{j=k}^l m_j$$

$$C_{i,j} = \cos(\theta_i-\theta_j)$$

$$S_{i,j} = \sin(\theta_i-\theta_j)$$

ゆえに、 $\theta_d(d=1,\ldots,n)$に関するラグランジュ運動方程式は、

$$m_{d..n} l_d^2\ddot\theta _d + \sum_{i=1}^{d-1} m_{d..n} l_d l_i \ddot\theta _iC_{d,i} + \sum_{i=d+1}^{n} m_{i..n} l_d l_i \ddot\theta _iC_{d,i}$$

$$+ \sum_{i=1}^{d-1} m_{d..n} l_d l_i \dot\theta _i^2S_{d,i} + \sum... ...1}^{n} m_{i..n} l_d l_i \dot\theta _i^2S_{d,i} + m_{d..n} g l_d\sin\theta_d = 0$$ (159)

となる⁹。 $\Box$

これを連立1階微分方程式にするために、この2階微分方程式を以下のように表す。

$${R}\bm{\ddot\theta } = {\bm{v}} \qquad\mbox{(${R}\in\mathbb{R}^{n\times n},\quad \bm{\ddot\theta },{\bm{v}}\in\mathbb{R}^n$)}$$ (160)

さらに、

$$\vartheta_d = \dot\theta _d$$

とおくことにより以下の連立1階微分方程式を得る。

$$\dot\theta_d = \vartheta_d$$ (161)

$$\dot\vartheta_d = [{R}^{-1}{\bm{v}}]_d$$ (162)

但しここで、

$${R} = \left(\begin{array}{ccccc} m_{1..n} l_1^2 &m_{2..n} l_1 l_2 C_{1,... ...ots & \\ & & &m_{n..n} l_n l_{n-1} C_{n-1,i} &m_{n..n} l_n^2\end{array}\right)$$ (163)

$${\bm{v}} = \left[\begin{array}{c} \displaystyle{ - \sum_{i=2}^{n} m_{i..n} l... ... l_n l_i \vartheta_i^2S_{n,i} - m_{n..n} g l_n\sin\theta_n } \end{array}\right]$$ (164)

である。 $\Box$ また、各々の角速度に比例する抵抗などの減衰 や強制振動のような外力 がある場合は、 $\dot\theta _d(d=1,\ldots,n)$それぞれに対する減衰定数を $\lambda_d$、外力を$\sigma_d$ とすると、 $\theta_d(d=1,\ldots,n)$に関するラグランジュ運動方程式は式 (162)から、

$$m_{d..n} l_d^2\ddot\theta _d + \sum_{i=1}^{d-1} m_{d..n} l_d l_i \ddot\theta _iC_{d,i} + \sum_{i=d+1}^{n} m_{i..n} l_d l_i \ddot\theta _iC_{d,i}$$

$$+ \sum_{i=1}^{d-1} m_{d..n} l_d l_i \dot\theta _i^2S_{d,i} + \sum... ...ta _i^2S_{d,i} + m_{d..n} g l_d\sin\theta_d = \sigma_d - \lambda_d\dot\theta _d$$ (165)

となる¹⁰。 $\Box$

よって、式(164),(165)に対応する減衰 や外力 がある場合の連立一階微分方程式は以下のようになる。

$$\dot\theta_d = \vartheta_d$$ (166)

$$\dot\vartheta_d = [{R}^{-1}{\bm{w}}]_d$$ (167)

但しここで、

$${R} = \left(\begin{array}{ccccc} m_{1..n} l_1^2 &m_{2..n} l_1 l_2 C_{1,... ...ots & \\ & & &m_{n..n} l_n l_{n-1} C_{n-1,i} &m_{n..n} l_n^2\end{array}\right)$$ (168)

$${\bm{w}} = \left[\begin{array}{c} \displaystyle{ - \sum_{i=2}^{n} m_{i..n} l... ...n..n} g l_n\sin\theta_n + \sigma_n - \lambda_n \vartheta_n } \end{array}\right]$$ (169)

である。 $\Box$ ［補足］ ハミルトンの正準方程式の導出

ここで、運動エネルギー$T$を以下のように表す。

$$T = \frac12 \dot{\bm\theta}^\top {R} \dot{\bm\theta}$$ (170)

但しここで、 $\bm\theta\in\mathbb{R}^n$である。すると、角運動量$\bm{p}$ は、 と表される。ハミルトニアン$H$は

$$H = \frac12 \bm{p}^\top {R}^{-1} \bm{p} + U$$ (171)

であり、ハミルトニアン$H$からハミルトンの正準方程式を得るには以下

$$\dot{\bm\theta} = \frac{\partial H}{\partial \bm{p}} = \frac{\partial}{\partial \bm{p}} \left( \frac12 \bm{p}^\top {R}^{-1} \bm{p} + U \right)$$

$$= {R}^{-1} \bm{p}$$ (172)

$$\dot{\bm{p}} = - \frac{\partial H}{\partial \bm\theta} + \bm{F} = - \frac{\parti... ...tial \bm\theta} \left( \frac12 \bm{p}^\top {R}^{-1} \bm{p} + U \right) + \bm{F}$$

$$= - \frac12 \frac{\partial}{\partial \bm\theta} \left( \bm{p}^\top {R}^{-1} \bm{p} \right) - \frac{\partial U}{\partial \bm\theta} + \bm{F}$$

$$= \frac12 \frac{\partial}{\partial \bm\theta} \left( \dot{\bm\theta... ...op {R} \dot{\bm\theta} \right) - \frac{\partial U}{\partial \bm\theta} + \bm{F}$$ (173)

の関係式を用いればよい。 ちなみに$\bm{F}$は、前述の抵抗や外力がある場合は、

$$\bm{F} = \left[\begin{array}{c} \vdots\\ \sigma_d - \lambda_d\dot\theta_d \\ \vdots \end{array} \right]$$ (174)

さもなくば${F}_d=0$($d=1,\ldots,n$)である。

具体的に求めると、ハミルトンの正準方程式は以下のようになる。

$$\dot{\bm\theta} = {R}^{-1} \bm{p}$$ (175)

$$\dot{\bm{p}} = \frac12 \frac{\partial}{\partial \bm\theta} \left( \dot{\bm\theta... ...bm\theta}, \ldots \right)^\top - \frac{\partial U}{\partial \bm\theta} + \bm{F}$$

$$= \left[\begin{array}{c} \vdots\\ \displaystyle{ - \sum_{i=1}^{d-1... ...} \vdots\\ m_{d..n} g l_d\sin\theta_d\\ \vdots\\ \end{array}\right] + \bm{F}$$ (176)

$\Box$ ［発展］ 動座標系におけるラグランジュ運動方程式及びハミルトンの正準方程式の導出

$O_1$が時変の位置 $\bm{\Gamma}=(\Gamma_x, \Gamma_y)$によって動くことに より、振り子が強制振動される場合を考える。 $i$番目の質点の位置ベクトルを $\bm{r}_i=(x_{G_i},y_{G_i})$として、この 動座標系における運動エネルギー$T$は、

$$T = \frac12\sum_{i=1}^n m_i\vert\dot{\bm{r}}_i\vert^2 + ... ...bm{r}}_i + \frac12\sum_{i=1}^n m_i\vert\dot{\bm\Gamma}\vert^2$$ (177)

となり、位置エネルギー$U$は、

$$U = \sum_{i=1}^n m_i g y_{G_i} + \sum_{i=1}^n m_i g \Gamma_y$$ (178)

となる。ここで、

$$\sum_{i=1}^n m_i\dot{\bm\Gamma}^\top\dot{\bm{r}}_i = \sum_{i=1}^n m_i (\dot\Gamma_x, \dot\Gamma_y)\left[\begin{array}{... ...\\ \displaystyle{\sum_{j=1}^i l_j \dot\theta_j\sin\theta_j} \end{array}\right]$$

$$= \left[\begin{array}{c} \vdots\\ \displaystyle{m_{i..n} l_i \left... ...ots\\ \dot\theta_i\\ \vdots \end{array}\right] = \bm{p}_O^\top\dot{\bm\theta}$$ (179)

とおくと、ラグランジュ関数$L$は$L=T-U$より、

$$L = \frac12 \dot{\bm\theta}^\top {R} \dot{\bm\theta} + \bm{p}_O^\top\dot{\bm\theta} + \frac12\sum_{i=1}^n m_i\vert\dot{\bm\Gamma}\vert^2 - U$$ (180)

となり、ラグランジュ運動方程式は、

$${R} \ddot{\bm\theta} + \dot{R} \dot{\bm\theta} + \frac{\p... ...heta}\right) + \frac{\partial U}{\partial\bm\theta} = \bm{F}$$ (181)

となる。但しここで、

$$\frac{\partial \bm{p}_O}{\partial t} = \left[\begin{array... ...dot\Gamma_y\sin\theta_i\right)}\\ \vdots \end{array}\right]$$ (182)

である。 この場合の角運動量$\bm{p}$は、 であるので、 より、ハミルトニアン$H$は、

$$H = \frac12 \left( \bm{p} - \bm{p}_O \right)^\top {R}^{-1} ... ...ight) + \frac12\sum_{i=1}^n m_i\vert\dot{\bm\Gamma}\vert^2 + U$$ (183)

であり、ハミルトニアン$H$からハミルトンの正準方程式を得るには以下

$$\dot{\bm\theta} = \frac{\partial H}{\partial \bm{p}} = \frac{\partial}{\partial \bm... ...{p}_O \right) + \frac12\sum_{i=1}^n m_i\vert\dot{\bm\Gamma}\vert^2 + U \right\}$$

$$= {R}^{-1} \left( \bm{p} - \bm{p}_O \right)$$ (184)

$$\dot{\bm{p}} = - \frac{\partial H}{\partial \bm\theta} + \bm{F} = - \frac{\parti... ...ght) + \frac12\sum_{i=1}^n m_i\vert\dot{\bm\Gamma}\vert^2 + U \right\} + \bm{F}$$

$$= - \frac12 \frac{\partial}{\partial \bm\theta} \left\{ \left( \bm{... ...p} - \bm{p}_O \right) \right\} - \frac{\partial U}{\partial \bm\theta} + \bm{F}$$

$$= - \left( \frac12 \left( \bm{p} - \bm{p}_O \right)^\top \frac{\par... ..._O \right) ,\ldots\right)^\top - \frac{\partial U}{\partial \bm\theta} + \bm{F}$$

$$= - \left( - \frac12 \dot{\bm\theta}^\top \frac{\partial {R}}{\part... ...\bm\theta} ,\ldots\right)^\top - \frac{\partial U}{\partial \bm\theta} + \bm{F}$$

$$= \frac12 \frac{\partial}{\partial \bm\theta} \left( \dot{\bm\theta... ...O^\top \dot{\bm\theta} \right) - \frac{\partial U}{\partial \bm\theta} + \bm{F}$$ (185)

の関係式を用いればよい。但しここで、

$$\frac{\partial}{\partial \bm\theta}\left( \bm{p}_O^\top \dot... ...os\theta_i\right) \dot\theta_i}\\ \vdots \end{array}\right]$$ (186)

である。

... となる⁹

確認のために$n=2$として書き下すと、確かに式 (16),(17)に対応する。

... となる¹⁰

確認のために$n=2$として書き下すと、確かに式 (26),(27)に対応する。

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